Discuta e resolva o sistema de equações lineares em função do parâmetro , exibindo as soluções caso existam.
Passo 1
Temos o sistema linear com parâmetro m:
x + m,y + m,z = 1, m,x + y + m,z = m, m,x + m,y + z = m^2
O conteúdo aqui é estudo de sistemas lineares dependentes de parâmetro: vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes para discutir existência e unicidade de solução e, quando possível, resolver por eliminação.
Passo 2
A matriz de coeficientes é
A = 1 & m & m m & 1 & m m & m & 1
Calculamos det A por desenvolvimento:
det A = 1cdotl(1cdot1 - mcdot mr) - mcdotl(mcdot1 - mcdot mr) + mcdotl(mcdot m - 1cdot mr)
Isso resulta em
det A = 1 - m^2 - m,(m - m^2) + m,(m^2 - m) = 1 - 3m^2 + 2m^3 = (m-1)^2,(2m+1)
Passo 3
Quando (m-1)^2(2m+1)neq0, isto é mneq1 e mneq-tfrac12, o sistema tem solução única. Para encontrar essa solução, fazemos operações lineares entre as equações:
Passo 4
Subtraindo a segunda da primeira e a terceira da segunda, obtemos
boxed x = (m+1)^22m+1, y = m^22m+1, z = -m(m+1)2m+1
Passo 6
No caso m=1, temos det A=0 e cada equação vira
x + y + z = 1
São três vezes a mesma equação, logo há infinitas soluções de dimensão 2. Por exemplo, tomando y=s, z=t livres,
boxed x = 1 - s - t, y = s, z = t, (s,tinR)
Passo 7
No caso m=-tfrac12, também det A=0. Eliminação simples mostra que o sistema leva a ,y - z = 0 e simultaneamente ,y - z = -1, o que é impossível.
Portanto, para m=-tfrac12, não há solução.
Resposta
Para mneq1 e mneq-tfrac12, existe solução única
x = (m+1)^22m+1, y = m^22m+1, z = -m(m+1)2m+1
Para m=1, há infinitas soluções:
x = 1 - s - t,; y = s,; z = t, s,tinR
Para m=-tfrac12, o sistema é incompatível (sem solução).