Discuta e resolva o sistema de equações lineares em função do parâmetro m, exibindo as soluções caso existam.
lx+m y+m z=1 m x+y+m z=m m x+m y+z=m^2

Passo 1

Temos o sistema linear com parâmetro m:
x + m,y + m,z = 1, m,x + y + m,z = m, m,x + m,y + z = m^2
O conteúdo aqui é estudo de sistemas lineares dependentes de parâmetro: vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes para discutir existência e unicidade de solução e, quando possível, resolver por eliminação.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = 1 & m & m m & 1 & m m & m & 1
Calculamos det A por desenvolvimento:
det A = 1cdotl(1cdot1 - mcdot mr) - mcdotl(mcdot1 - mcdot mr) + mcdotl(mcdot m - 1cdot mr)
Isso resulta em
det A = 1 - m^2 - m,(m - m^2) + m,(m^2 - m) = 1 - 3m^2 + 2m^3 = (m-1)^2,(2m+1)

Passo 3

Quando (m-1)^2(2m+1)neq0, isto é mneq1 e mneq-tfrac12, o sistema tem solução única. Para encontrar essa solução, fazemos operações lineares entre as equações:

Passo 4

Subtraindo a segunda da primeira e a terceira da segunda, obtemos
(1-m)(x - y) = 1 - m, (1-m)(y - z) = m(1-m), (1-m)(x - z) = (m+1)(1-m)
Como mneq1, divide-se por (1-m), gerando
x - y = 1, y - z = m, x - z = m+1

Passo 5

Daquelas diferenças vem x = y+1 e y = z + m. Substituindo em, por exemplo, x + m,y + m,z =1:
(z+m+1) + m(z+m) + m,z = 1 ;Longrightarrow; (1+2m),z + (m^2+m+1) = 1 ;Longrightarrow; z = -m(m+1)2m+1
Em seguida,
y = z + m = m^22m+1, x = y + 1 = (m+1)^22m+1
Logo, para mneq1 e mneq-tfrac12, a solução é
boxed x = (m+1)^22m+1, y = m^22m+1, z = -m(m+1)2m+1

Passo 6

No caso m=1, temos det A=0 e cada equação vira
x + y + z = 1
São três vezes a mesma equação, logo há infinitas soluções de dimensão 2. Por exemplo, tomando y=s, z=t livres,
boxed x = 1 - s - t, y = s, z = t, (s,tinR)

Passo 7

No caso m=-tfrac12, também det A=0. Eliminação simples mostra que o sistema leva a
,y - z = 0 e simultaneamente ,y - z = -1, o que é impossível.
Portanto, para m=-tfrac12, não há solução.

Resposta

Para mneq1 e mneq-tfrac12, existe solução única
x = (m+1)^22m+1, y = m^22m+1, z = -m(m+1)2m+1
Para m=1, há infinitas soluções:
x = 1 - s - t,; y = s,; z = t, s,tinR
Para m=-tfrac12, o sistema é incompatível (sem solução).

Exercícios relacionados