Discuta e resolva o sistema de equações lineares em função do parâmetro m, exibindo as soluções caso existam.
lx+y+z=0 x-y+m z=2 m x+2 y+z=-1

Passo 1

Resumindo, queremos estudar o sistema
x+y+z=0, x-y+m,z=2, m,x+2y+z=-1,
onde m é um parâmetro. O conteúdo é resolução de sistemas lineares com parâmetro via eliminação de Gauss; vamos eliminar x usando a primeira equação e depois resolver o subsistema para y e z.

Passo 2

Eliminamos x das equações 2 e 3 subtraindo múltiplos da equação 1:
— Equação 2 menos Equação 1:
(x - x) +(-y - y) +l(mz - zr)=2-0 Longrightarrow -2y + (m-1)z = 2
— Equação 3 menos m vezes Equação 1:
(m,x - m,x) +l(2y - m,yr) +l(z - m,zr) =-1-0 Longrightarrow (2-m)y + (1-m)z = -1

Passo 3

Reescrevendo a segunda relação (2-m)y+(1-m)z=-1 como
(m-2)y + (m-1)z = 1
(trocando de sinal ambos os lados), obtemos o subsistema em (y,z):
-2y + (m-1)z = 2, (m-2)y + (m-1)z = 1
O determinante desse subsistema é
D = det -2 & m-1 m-2 & m-1 = (-2)(m-1)-(m-1)(m-2)= -m(m-1)

Passo 4

Se mneq0 e mneq1, então Dneq0 e há solução única. Subtraindo a primeira linha da segunda,
(m-2 +2),y = 1-2 Longrightarrow m,y=-1 Longrightarrow y=-1m
Substituindo em -2y+(m-1)z=2,
-2l(-1mr)+(m-1)z=2 Longrightarrow 2m+(m-1)z=2 Longrightarrow (m-1)z=2(m-1)m Longrightarrow z=2m
Finalmente, de x+y+z=0 vem
x=-l(y+zr)=-l(-1m+2mr)=-1m

Passo 5

Agora analisamos os casos singulares:
— Se m=0, o subsistema vira
-2y - z=2, -2y - z=1,
que é contraditório. Logo não há solução.
— Se m=1, o subsistema fica
-2y +0cdot z=2;Rightarrow;y=-1, (-1),y+0cdot z=1;Rightarrow;y=-1,
sem restrição em z. Então há infinitas soluções. Da primeira equação x+y+z=0 segue
x=1-z,
e podemos parametrizar z=t, obtendo
,(x,y,z)=(1-t,,-1,,t).

Resposta

Para o sistema dado:
boxed única solução (x,y,z)=l(-tfrac1m,,-tfrac1m,,tfrac2mr),&mneq0,1, sem solução,&m=0, infinitas soluções (x,y,z)=(1-t,,-1,,t),;tinR,&m=1 úçãçãçõ

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