Discutir e resolver cada sistema abaixo segundo os valores de e (incógnitas ).
Passo 1
O enunciado dá o sistema com parâmetros
O conteúdo aqui é discussão de existência e unicidade de solução de sistemas lineares conforme o determinante da matriz dos coeficientes, e, em caso de solução única, uso de eliminação para encontrar (x,y,z].
Passo 2
Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
A = a & 1 & 2 2a & -1 & 2 2 & 1 & 2
Por desenvolvimento, obtém-se
det A = 4(2 - a)
Logo, se a neq 2 temos det A neq 0 e o sistema admite solução única; se a = 2, det A = 0 e o sistema pode não ter solução ou ter infinitas soluções, dependendo de b.
Passo 3
Caso a neq 2, o sistema é compatível determinado. Fazendo eliminação:
Subtraindo a terceira equação da primeira: (a-2)x = b-3, logo
x = b-3a-2
Somando a primeira com a segunda: 3a x +4z = b+1, daí
z = b+1 - 3a,x4 = -(ab -5a + b +1)2(a-2)
Finalmente, de y = b - a x - 2z resulta
y = ab - 2a - b +1a-2
Portanto, para aneq2,
x = b-3a-2, y = ab - 2a - b +1a-2, z = -ab -5a + b +12(a-2)
Passo 4
Caso
logo é preciso para haver compatibilidade.
Se , o sistema fica contraditório e não tem solução.
Se , sobra só duas equações independentes
com três incógnitas, gerando infinitas soluções. Tomando (z = t], obtemos
Resposta
Para o sistema
a x + y + 2z = b, 2a x - y + 2z = 1, 2x + y + 2z = 3,
temos:
(a) Se a neq 2, solução única
x = b-3a-2, y = ab - 2a - b +1a-2, z = -ab -5a + b +12(a-2)
(b) Se a = 2 e b neq 3, o sistema é incompatível (sem solução).
(c) Se a = 2 e b = 3, o sistema tem infinitas soluções, dadas por