Discuta e resolva o sistema de equações lineares em função do parâmetro , exibindo as soluções caso existam.
Passo 1
O enunciado pede para discutir e resolver, em função do parâmetro
O conteúdo principal é análise de sistemas lineares (3\times 3] dependendo de parâmetro, usando o determinante da matriz dos coeficientes e eliminação de Gauss para achar as soluções.
Passo 2
Vamos chamar a matriz dos coeficientes de A. Calculamos seu determinante por expansão:
det A = m & -1 & 2 1 & 0 & m 3 & 2 & m = -2,(m+2),(m-1)
Logo det A=0 se, e somente se, m=1 ou m=-2.
Passo 3
Caso mneq1 e mneq-2, o determinante é não-nulo e o sistema tem solução única.
Da segunda equação vem
x = m - m,z
Da primeira equação
y = m,x + 2z
Substituindo em todas as equações e resolvendo para z obtemos
z = 2m+52,(m+2), x = -m2,(m+2), y = -m^2 +4m +102,(m+2)
Passo 4
Caso
Da segunda equação . A terceira fica , sempre satisfeita. Portanto há infinitas soluções, que parametrizamos por :
Passo 5
Caso
Da segunda equação . Substituindo na terceira obtém-se , contradição. Logo não há solução.
Resposta
Para o sistema dado em função de m:
Se mneq1 e mneq-2, há solução única
x = -m2,(m+2), y = -m^2 +4m +102,(m+2), z = 2m+52,(m+2)