Discuta e resolva o sistema de equações lineares em função do parâmetro m, exibindo as soluções caso existam.
lm x-y+2 z=0 x+m z=m 3 x+2 y+m z=5

Passo 1

O enunciado pede para discutir e resolver, em função do parâmetro
O conteúdo principal é análise de sistemas lineares (3\times 3] dependendo de parâmetro, usando o determinante da matriz dos coeficientes e eliminação de Gauss para achar as soluções.

Passo 2

Vamos chamar a matriz dos coeficientes de A. Calculamos seu determinante por expansão:
det A = m & -1 & 2 1 & 0 & m 3 & 2 & m = -2,(m+2),(m-1)
Logo det A=0 se, e somente se, m=1 ou m=-2.

Passo 3

Caso mneq1 e mneq-2, o determinante é não-nulo e o sistema tem solução única.
Da segunda equação vem
x = m - m,z
Da primeira equação
y = m,x + 2z
Substituindo em todas as equações e resolvendo para z obtemos
z = 2m+52,(m+2), x = -m2,(m+2), y = -m^2 +4m +102,(m+2)

Passo 4

Caso
Da segunda equação . A terceira fica , sempre satisfeita. Portanto há infinitas soluções, que parametrizamos por :

Passo 5

Caso
Da segunda equação . Substituindo na terceira obtém-se , contradição. Logo não há solução.

Resposta

Para o sistema dado em função de m:
Se mneq1 e mneq-2, há solução única
x = -m2,(m+2), y = -m^2 +4m +102,(m+2), z = 2m+52,(m+2)
Se m=1, há infinitas soluções
(x,y,z) = (1-t,;1+t,;t), tinR
Se m=-2, o sistema é incompatível (sem solução).

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