Seja a^2+b^2=7 a b. Mostre que log a+b3=12(log a+log b)

Passo 1

Vamos recapitular: o enunciado diz que dados dois números positivos a e b satisfazendo a^2+b^2=7ab, devemos mostrar que logdfraca+b3=tfrac12(log a+log b). O conteúdo envolvido é manipulação algébrica de radicais e propriedades de logaritmos.

Passo 2

A partir de a^2+b^2=7ab, somamos 2ab aos dois lados para obter o quadrado da soma:
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 7ab + 2ab = 9ab

Passo 3

Tirando raiz quadrada e considerando a>0 e b>0 (já que vamos usar logaritmo), obtemos
a + b = 3raizab

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 3, fica
a+b3 = raizab

Passo 5

Agora aplicamos logaritmo em ambos os lados e usamos as regras lograizab=log(ab)^1/2=tfrac12log(ab) e log(ab)=log a+log b. Assim,
loga+b3 = lograizab = tfrac12log(ab) = tfrac12(log a + log b)

Resposta

logdfraca+b3 = tfrac12(log a + log b)

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