As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(a) \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\ x & 7\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\ x & 7\end{pmatrix}
e pede que o sistema A\boldsymbol{u}=\boldsymbol{b} tenha solução única para qualquer \boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2}). O conteúdo aqui é invertibilidade de matrizes, que ocorre exatamente quando o determinante é não nulo.

Passo 2

Para calcular o determinante de A, usamos a fórmula de uma matriz 2\times2:
\det(A)=2\cdot7 - 3\cdot x = 14 - 3x.

Passo 3

Um sistema A\boldsymbol{u}=\boldsymbol{b} tem solução única se, e somente se, \det(A)\neq0. Assim, exigimos
14 - 3x \neq 0
o que implica
x \neq \frac{14}{3}.

Resposta

x \neq \frac{14}{3}

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