Prove o seguinte:
(c) ( 1,0 ponto) Seja
uma matriz de tamanho
, onde
. Prove que se
possui uma matriz inversa à direita, então
possui infinitas matrizes inversas à direita.
(c) ( 1,0 ponto) Seja
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Temos uma matriz de tamanho
com
. Sabemos que existe ao menos uma matriz inversa à direita, isto é, existe
de tamanho
tal que
Temos uma matriz
O objetivo é provar que então existem infinitas matrizes
de tamanho
com
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Posto e a Decomposição Núcleo–Imagem (Teorema da Dimensão):
Passo 2
Mostrar que
é não trivial
Pelo enunciado admite inversa à direita, logo
(posto máximo possível, já que
tem
linhas). Aplicando o Teorema da Dimensão:
Pelo enunciado
Como
, segue
. Portanto
contém vetores não nulos, isto é, há infinitos vetores
tais que
Passo 3
Construir outras inversas à direita a partir de uma dada
Seja uma inversa à direita fixa, isto é,
Seja
Escolha qualquer matriz
de tamanho
cujas colunas pertençam a
. Então
. Considere
Calculamos
Logo
também é inversa à direita de
.
Passo 4
Concluir infinitude de inversas à direita
Como tem dimensão
, existem infinitas matrizes
não nulas com
. Cada escolha diferente de
gera uma inversa distinta
Como
Isso prova que há infinitas inversas à direita de
.
Resposta
Mostramos que, partindo de uma inversa à direita
, todo aditivo
com colunas em
produz outra inversa
. Como
tem dimensão
, existem infinitos
, logo infinitas inversas à direita.