Prove o seguinte:
(c) ( 1,0 ponto) Seja A uma matriz de tamanho m \times n, onde m<n. Prove que se A possui uma matriz inversa à direita, então A possui infinitas matrizes inversas à direita.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos uma matriz A de tamanho m\times n com m<n. Sabemos que existe ao menos uma matriz inversa à direita, isto é, existe X de tamanho n\times m tal que
A\,X = I_{m}.
O objetivo é provar que então existem infinitas matrizes Y de tamanho n\times m com
A\,Y = I_{m}.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Posto e a Decomposição Núcleo–Imagem (Teorema da Dimensão):
\dim(\ker A) + \rank(A) = n.

Passo 2

Mostrar que \ker A é não trivial
Pelo enunciado A admite inversa à direita, logo \rank(A)=m (posto máximo possível, já que A tem m linhas). Aplicando o Teorema da Dimensão:
\dim(\ker A) = n - \rank(A) = n - m.
Como n>m, segue \dim(\ker A)=n-m>0. Portanto \ker A contém vetores não nulos, isto é, há infinitos vetores v\neq0 tais que
A\,v = 0.

Passo 3

Construir outras inversas à direita a partir de uma dada
Seja X uma inversa à direita fixa, isto é,
A\,X = I_{m}.
Escolha qualquer matriz V de tamanho n\times m cujas colunas pertençam a \ker A. Então A\,V=0. Considere
Y = X + V.
Calculamos
A\,Y = A\,(X+V) = A\,X + A\,V = I_{m} + 0 = I_{m}.
Logo Y também é inversa à direita de A.

Passo 4

Concluir infinitude de inversas à direita
Como \ker A tem dimensão n-m>0, existem infinitas matrizes V não nulas com A\,V=0. Cada escolha diferente de V gera uma inversa distinta
Y = X + V.
Isso prova que há infinitas inversas à direita de A.

Resposta

Mostramos que, partindo de uma inversa à direita X, todo aditivo V com colunas em \ker A produz outra inversa X+V. Como \ker A tem dimensão >0, existem infinitos V\neq0, logo infinitas inversas à direita.

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