Sejam e
a) e combinação linear de ?
b) Determinar o valor de para que o vetor seja combinação de e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, e . O que a questão pede é para verificar se outros vetores podem ser escritos como combinações lineares desses dois vetores. Isso significa que queremos saber se dá para encontrar números (escalares) que, quando multiplicados por e e somados, resultam no vetor que estamos analisando. Para isso, vamos precisar montar e resolver alguns sistemas de equações lineares.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Queremos saber se é uma combinação linear de e . Isso significa que precisamos encontrar escalares e tais que:
Ou seja:
Passo 3
Vamos expandir essa equação para obter um sistema de equações:
Ou seja:
a + 2b = 4 -3a + 4b = 3 2a - b = -6
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação, podemos isolar a :
a = 4 - 2b
Agora, substituímos esse valor de a na segunda equação:
Vamos conferir com a terceira equação para garantir que está tudo certinho:
2(1) - 1.5 = 2 - 1.5 = 0.5 neq -6
Aqui vemos que há uma inconsistência, ou seja, não existe solução que satisfaça as três equações simultaneamente. Isso significa que o vetor V = (4, 3, -6) não é uma combinação linear de V1 e V2 .
Passo 6
Agora, vamos para a parte b): Precisamos encontrar o valor de k tal que o vetor w = (-1, k, -7) seja uma combinação linear de V1 e V2 . Assim, buscamos escalares a e b que satisfaçam:
a cdot V1 + b cdot V2 = w
Ou seja:
a cdot (1, -3, 2) + b cdot (2, 4, -1) = (-1, k, -7)
Passo 7
Vamos montar as equações:
a + 2b = -1 -3a + 4b = k 2a - b = -7
Passo 8
Primeiro, da primeira equação:
a = -1 - 2b
Substituímos esse valor na terceira equação:
2(-1 - 2b) - b = -7 -2 - 4b - b = -7 -5b = -5 b = 1
Com b = 1 , encontramos a :
a = -1 - 2(1) = -3
Passo 9
Agora, usamos esses valores para encontrar k na segunda equação:
-3(-3) + 4(1) = 9 + 4 = 13
Portanto, k = 13 .
Resposta
a) Não, o vetor V = (4, 3, -6) não é uma combinação linear de V1 e V2 .
b) O valor de k que faz com que w = (-1, k, -7) seja uma combinação linear de V1 e V2 é k = 13 .