Sejam V1=(1,-3,2) e V2=(2,4,-1)
a) V=(4,3,-6) e combinação linear de V1 e V2 ?
b) Determinar o valor de k para que o vetor w=(-1, k,-7) seja combinação de V1 e V2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, V1 = (1, -3, 2) e V2 = (2, 4, -1) . O que a questão pede é para verificar se outros vetores podem ser escritos como combinações lineares desses dois vetores. Isso significa que queremos saber se dá para encontrar números (escalares) que, quando multiplicados por V1 e V2 e somados, resultam no vetor que estamos analisando. Para isso, vamos precisar montar e resolver alguns sistemas de equações lineares.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Queremos saber se V = (4, 3, -6) é uma combinação linear de V1 e V2 . Isso significa que precisamos encontrar escalares a e b tais que:
a cdot V1 + b cdot V2 = V
Ou seja:
a cdot (1, -3, 2) + b cdot (2, 4, -1) = (4, 3, -6)

Passo 3

Vamos expandir essa equação para obter um sistema de equações:
a cdot 1 + b cdot 2 = 4 a cdot (-3) + b cdot 4 = 3 a cdot 2 + b cdot (-1) = -6
Ou seja:
a + 2b = 4 -3a + 4b = 3 2a - b = -6

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação, podemos isolar a :
a = 4 - 2b
Agora, substituímos esse valor de a na segunda equação:
-3(4 - 2b) + 4b = 3 -12 + 6b + 4b = 3 10b = 15 b = 1.5
Com o valor de b , encontramos a :
a = 4 - 2(1.5) = 4 - 3 = 1

Passo 5

Vamos conferir com a terceira equação para garantir que está tudo certinho:
2(1) - 1.5 = 2 - 1.5 = 0.5 neq -6
Aqui vemos que há uma inconsistência, ou seja, não existe solução que satisfaça as três equações simultaneamente. Isso significa que o vetor V = (4, 3, -6) não é uma combinação linear de V1 e V2 .

Passo 6

Agora, vamos para a parte b): Precisamos encontrar o valor de k tal que o vetor w = (-1, k, -7) seja uma combinação linear de V1 e V2 . Assim, buscamos escalares a e b que satisfaçam:
a cdot V1 + b cdot V2 = w
Ou seja:
a cdot (1, -3, 2) + b cdot (2, 4, -1) = (-1, k, -7)

Passo 7

Vamos montar as equações:
a + 2b = -1 -3a + 4b = k 2a - b = -7

Passo 8

Primeiro, da primeira equação:
a = -1 - 2b
Substituímos esse valor na terceira equação:
2(-1 - 2b) - b = -7 -2 - 4b - b = -7 -5b = -5 b = 1
Com b = 1 , encontramos a :
a = -1 - 2(1) = -3

Passo 9

Agora, usamos esses valores para encontrar k na segunda equação:
-3(-3) + 4(1) = 9 + 4 = 13
Portanto, k = 13 .

Resposta

a) Não, o vetor V = (4, 3, -6) não é uma combinação linear de V1 e V2 .
b) O valor de k que faz com que w = (-1, k, -7) seja uma combinação linear de V1 e V2 é k = 13 .

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