QUESTÃO 02 ( 9 pontos): O número P de indivíduos em uma colônia de bactérias dobra a cada 5 horas.
(a) Escreva a expressão que permite calcular o número P de indivíduos em função do tempo t em horas.
(b) Escreva a expressão que permite calcular o tempo t, em horas, necessário para que a população atinja um número P de indivíduos.
(c) Calcule quanto tempo leva para essa população de bactérias triplicar.

Passo 1

O enunciado diz que a população de bactérias dobra a cada 5 horas e pede:
– (a) a expressão de P em função do tempo t,
– (b) a expressão de t em função de P,
– (c) o tempo necessário para que a população triplique.
O conteúdo envolvido é crescimento exponencial e uso de logaritmos para inverter essa relação.

Passo 2

Quando algo dobra a cada 5 horas, em t horas o fator de crescimento é 2^{t/5}. Se tomarmos P_0 como a população inicial em t=0, então
P(t) = P_0 \cdot 2^{t/5}.

Passo 3

Para achar o tempo t necessário para chegar a uma população P, isolamos t na expressão anterior. Primeiro dividimos por P_0:
\frac{P}{P_0} = 2^{t/5}.
Aplicando logaritmo na base 2 em ambos os lados:
\log_2\!\bigl(\tfrac{P}{P_0}\bigr) = \frac{t}{5},
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t = 5\,\log_2\!\bigl(\tfrac{P}{P_0}\bigr).
Usando mudança de base \log_2 x = \ln(x)/\ln(2), fica
t = 5\,\frac{\ln(P/P_0)}{\ln(2)}.

Passo 4

Para triplicar, queremos P/P_0=3. Substituindo:
t = 5\,\log_2(3) = 5\,\frac{\ln(3)}{\ln(2)} \approx 5 \times 1{,}5850 = 7{,}925\,.
Arredondando, dá cerca de 7{,}93 horas.

Resposta

(a) P(t) = P_0 \cdot 2^{t/5}.
(b) t = 5\,\log_2\!\bigl(\tfrac{P}{P_0}\bigr) = 5\,\dfrac{\ln(P/P_0)}{\ln(2)}.
(c) Leva aproximadamente 7{,}93 horas para a população triplicar.

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