QUESTÃO 04 (8 pontos): Um corpo se move em linha reta de acordo com a equação s(t)=\sqrt{4+9 t^{2}}, onde s é dada em metros e t em segundos.
(a) Determine a velocidade média desse corpo no intervalo [0,2].
V_{m}=\frac{\Delta p}{\Delta t}
(b) ESCREVA A EXPRESSÃO que determina a velocidade desse corpo no instante t=2 s.

Passo 1

O enunciado dá a posição do corpo em função do tempo por
s(t) = \sqrt{4 + 9\,t^2},
com s em metros e t em segundos. Precisamos calcular
  1. a velocidade média no intervalo [0,2], usando
V_{m} = \frac{\Delta s}{\Delta t},
  1. a velocidade instantânea em t=2, que obtém-se pela derivada v(t)=s'(t).

Passo 2

Calcular a velocidade média em [0,2]. Primeiro avaliaremos
s(0) = \sqrt{4 + 9\cdot 0^2} = \sqrt{4} = 2,
s(2) = \sqrt{4 + 9\cdot 2^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.
Então
\Delta s = s(2)-s(0) = 2\sqrt{10} - 2,
\Delta t = 2 - 0 = 2,
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V_{m} = \frac{2\sqrt{10} - 2}{2} = \sqrt{10} - 1 \quad\bigl(\text{m/s}\bigr).

Passo 3

Para a velocidade instantânea derivamos s(t). Usando a regra da cadeia em
s(t) = \bigl(4 + 9\,t^2\bigr)^{\tfrac12},
temos
v(t) = s'(t) = \frac12\bigl(4+9t^2\bigr)^{-\tfrac12}\cdot (18\,t) = \frac{9\,t}{\sqrt{4 + 9\,t^2}}.

Passo 4

Agora avaliaremos v(t) em t=2:
v(2) = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{4 + 9\cdot 2^2}} = \frac{18}{\sqrt{40}} = \frac{18}{2\sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}} \quad\bigl(\text{m/s}\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle V_{m} = \sqrt{10} - 1 m/s.
(b) \displaystyle v(2) = \frac{9}{\sqrt{10}} m/s.

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