Sejam
e
. Considere o sistema linear não-homogêneo
e o sistema homogêneo associado
. Prove ou dê contra-exemplo.
(ii) Se
tem infinitas soluções, então
tem infinitas soluções.
(ii) Se
Passo 1
O enunciado diz o seguinte: temos uma matriz
e um vetor coluna
. Consideramos dois sistemas lineares: o não-homogêneo
e o homogêneo associado
A pergunta (ii) é: “Se
tem infinitas soluções, então
tem infinitas soluções.”
O conteúdo usado aqui é a teoria de sistemas lineares (espaço nulo, existência de solução particular e dimensão do conjunto de soluções).
O conteúdo usado aqui é a teoria de sistemas lineares (espaço nulo, existência de solução particular e dimensão do conjunto de soluções).
Passo 2
Lembra da forma geral de todas as soluções de
:
– Se o sistema é consistente (isto é, existe pelo menos uma solução particular
), então o conjunto solução é
– Se o sistema
Nesse caso, a cardinalidade das soluções de
coincide com a cardinalidade de
.
– Se não é consistente, então ele não tem solução alguma.
– Se
Passo 3
Agora, saber que
tem infinitas soluções significa que
é um subespaço de dimensão
. Portanto
é infinito. Mas isso não garante que exista algum
com
. Se não houver solução particular, o sistema
fica completamente vazio.
Passo 4
Vamos dar um contraexemplo bem simples:
– Para
(isto é,
) qualquer
é solução, logo há infinitas soluções.
– Para (isto é,
) não existe
que satisfaça
, logo não há nenhuma solução.
– Para
Resposta
A afirmação é falsa. O contraexemplo é
pois
tem infinitas soluções e
não tem nenhuma.