Sejam A in Mm times n(R) e B in Mm times 1(R). Considere o sistema linear não-homogêneo A X=B e o sistema homogêneo associado A X=0. Prove ou dê contra-exemplo.
(ii) Se A X=0 tem infinitas soluções, então A X=B tem infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado diz o seguinte: temos uma matriz Ain Mmtimes n(R) e um vetor coluna Bin Mmtimes1(R). Consideramos dois sistemas lineares: o não-homogêneo
A X = B
e o homogêneo associado
A X = 0
A pergunta (ii) é: “Se A X=0 tem infinitas soluções, então A X=B tem infinitas soluções.”
O conteúdo usado aqui é a teoria de sistemas lineares (espaço nulo, existência de solução particular e dimensão do conjunto de soluções).

Passo 2

Lembra da forma geral de todas as soluções de A X = B:
– Se o sistema A X=B é consistente (isto é, existe pelo menos uma solução particular X0), então o conjunto solução é
,X0 + v : vin ker(A)
Nesse caso, a cardinalidade das soluções de A X=B coincide com a cardinalidade de ker(A).
– Se A X=B não é consistente, então ele não tem solução alguma.

Passo 3

Agora, saber que A X=0 tem infinitas soluções significa que ker(A) é um subespaço de dimensão >=1. Portanto ker(A) é infinito. Mas isso não garante que exista algum X0 com A X0=B. Se não houver solução particular, o sistema A X=B fica completamente vazio.

Passo 4

Vamos dar um contraexemplo bem simples:
A = 0 & 0in M1times2(R), B = 1in M1times1(R)
– Para A X=0 (isto é, 0cdot x1 + 0cdot x2 = 0) qualquer (x1,x2)inR^2 é solução, logo há infinitas soluções.
– Para A X=B (isto é, 0cdot x1 + 0cdot x2 = 1) não existe (x1,x2) que satisfaça 0=1, logo não há nenhuma solução.

Resposta

A afirmação é falsa. O contraexemplo é
A = (0;;0), B=(1),
pois A X=0 tem infinitas soluções e A X=B não tem nenhuma.

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