(Provão - MEC - 1998)
O sistema a x+3 y & =a 3 x+a y & =a não tem solução se e só se:
(A) a neq-3
(B) a neq 3
(C) a=0
(D) a=-3
(E) a=3

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
a x + 3 y = a, 3 x + a y = a,
com parâmetro a, e pergunta para quais valores de a o sistema não tem solução. O conteúdo aqui é estudar determinante e consistência de sistemas lineares 2times 2.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos o determinante De<a:
De<a = a & 3 3 & a = acdot a - 3cdot3 = a^2 - 9
O sistema é singular (ou seja, ou sem solução ou com infinitas soluções) quando De<a=0, isto é,
a^2 - 9 = 0 ;Longrightarrow; a = 3 ou a = -3

Passo 3

Para decidir entre “sem solução” ou “infinitas soluções” no caso singular, usamos o critério de consistência: nas equações
a x + 3 y = a e 3 x + a y = a,
os quocientes dos coeficientes devem ser iguais ao quociente dos termos independentes:
a3 ;=;3a;=;aa
Da igualdade tfraca3=tfracaa=1 segue a=3. Portanto:
  • Se a=3, as duas equações são proporcionais e há infinitas soluções.
  • Se a=-3, as equações são singulares mas não proporcionais aos termos independentes, gerando contradição e nenhuma solução.

Resposta

A única escolha que faz o sistema não ter solução é
a = -3,
ou seja, alternativa (D).

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