Uma vez que os sistemas \left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=-1 \\\\ 3 x+2 y=-4\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}a x-3 y=0 \\\\ 2 x-b y=0\end{array}\right. são equivalentes, determine o valor de a+b.

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas lineares em (x,y) e afirma que eles são equivalentes, isto é, têm o mesmo conjunto de soluções. Em teoria de sistemas lineares, dizemos que dois sistemas são equivalentes se uma matriz aumentada pode ser transformada na outra por operações elementares de linha. Aqui, partimos do primeiro sistema e aplicamos combinações lineares das equações para obter o segundo, determinando a e b.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do primeiro sistema:
\begin{pmatrix} 2 & 3 & \bigl|\bigr & -1\\\\ 3 & 2 & \bigl|\bigr & -4 \end{pmatrix}
Queremos duas novas linhas (equações) da forma
a x - 3y = 0 \quad\text{e}\quad 2x - b y = 0,
eliminando os termos independentes (coluna dos constantes).

Passo 3

Para a primeira nova linha, tomamos uma combinação c\,(2x+3y=-1)\;+\;d\,(3x+2y=-4).
A condição de homogeneização exige
c\cdot(-1)+d\cdot(-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad -c-4d=0,
e para corresponder a a x-3y=0 precisamos
2c+3d=a, \quad 3c+2d=-3.

Passo 4

Da relação -c-4d=0 segue c=-4d. Substituindo em 3c+2d=-3:
3(-4d)+2d=-3 \quad\Longrightarrow\quad -12d+2d=-3 \quad\Longrightarrow\quad -10d=-3 \quad\Longrightarrow\quad d=\frac{3}{10}.
Então
c=-4\cdot\frac{3}{10}=-\frac{6}{5}, \quad a=2c+3d =2\Bigl(-\frac{6}{5}\Bigr)+3\Bigl(\frac{3}{10}\Bigr) =-\frac{12}{5}+\frac{9}{10} =-\frac{15}{10} =-\frac{3}{2}.

Passo 5

Para a segunda nova linha, fazemos e\,(2x+3y=-1)\;+\;f\,(3x+2y=-4).
A homogeneização dá
e\cdot(-1)+f\cdot(-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad -e-4f=0,
e para igualar 2x - b y=0 precisamos
2e+3f=2, \quad 3e+2f=-b.
De -e-4f=0 vem e=-4f. Em 2e+3f=2:
2(-4f)+3f=2 \quad\Longrightarrow\quad -8f+3f=2 \quad\Longrightarrow\quad -5f=2 \quad\Longrightarrow\quad f=-\frac{2}{5},
e=-4\Bigl(-\tfrac{2}{5}\Bigr)=\frac{8}{5}, \quad -b=3e+2f =3\Bigl(\frac{8}{5}\Bigr)+2\Bigl(-\frac{2}{5}\Bigr) =\frac{24}{5}-\frac{4}{5} =4 \quad\Longrightarrow\quad b=-4.

Passo 6

Finalmente,
a+b =-\frac{3}{2}+(-4) =-\frac{3}{2}-\frac{8}{2} =-\frac{11}{2}.

Resposta

-\frac{11}{2}

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