Discutir o domínio e a imagem das funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na função que a gente tem aqui:
. Nosso objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função (ou seja, para quais valores de
ela está definida) e qual é a imagem (quais valores de
ela pode assumir). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre raízes e potências fracionárias.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre domínio. O domínio de uma função são todos os valores de
que você pode colocar na função sem que ela dê algum problema, como uma raiz de número negativo ou uma divisão por zero.
Passo 3
Na nossa função
, temos uma potência fracionária com numerador 2 e denominador 3. Isso significa que estamos lidando com uma raiz cúbica elevada ao quadrado. Sabemos que a raiz cúbica de qualquer número real existe, porque podemos tirar a raiz cúbica de números positivos, negativos e zero. Então, não tem problema de existência aqui.
Passo 4
Como a raiz cúbica está sempre definida para qualquer
, o que importa é apenas garantir que o denominador da fração (nesse caso, 3) não faça a expressão ficar indefinida, mas como 3 é uma constante positiva, não temos esse problema. Portanto, o domínio dessa função é todos os números reais.
Passo 5
Agora, vamos para a imagem da função, que são todos os valores de
que a função pode produzir. Vamos pensar no que acontece quando elevamos a raiz cúbica ao quadrado. Primeiro, a raiz cúbica pode ser qualquer número real, positivo ou negativo. Mas, quando a gente eleva um número real ao quadrado, o resultado sempre é maior ou igual a zero.
Passo 6
Então, independente do valor de
que a gente escolher,
nunca será negativo. Ele pode ser zero (quando
) ou qualquer número positivo. Portanto, a imagem dessa função é todos os números reais não negativos, ou seja,
.
Resposta
- Domínio: Todos os números reais,
. - Imagem: Todos os números reais não negativos,
.