Discutir o domínio e a imagem das funções:
y=(x+1)^2 / 3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na função que a gente tem aqui: y = (x + 1)^23 . Nosso objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função (ou seja, para quais valores de x ela está definida) e qual é a imagem (quais valores de y ela pode assumir). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre raízes e potências fracionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre domínio. O domínio de uma função são todos os valores de x que você pode colocar na função sem que ela dê algum problema, como uma raiz de número negativo ou uma divisão por zero.

Passo 3

Na nossa função y = (x + 1)^23 , temos uma potência fracionária com numerador 2 e denominador 3. Isso significa que estamos lidando com uma raiz cúbica elevada ao quadrado. Sabemos que a raiz cúbica de qualquer número real existe, porque podemos tirar a raiz cúbica de números positivos, negativos e zero. Então, não tem problema de existência aqui.

Passo 4

Como a raiz cúbica está sempre definida para qualquer x + 1 , o que importa é apenas garantir que o denominador da fração (nesse caso, 3) não faça a expressão ficar indefinida, mas como 3 é uma constante positiva, não temos esse problema. Portanto, o domínio dessa função é todos os números reais.

Passo 5

Agora, vamos para a imagem da função, que são todos os valores de y que a função pode produzir. Vamos pensar no que acontece quando elevamos a raiz cúbica ao quadrado. Primeiro, a raiz cúbica pode ser qualquer número real, positivo ou negativo. Mas, quando a gente eleva um número real ao quadrado, o resultado sempre é maior ou igual a zero.

Passo 6

Então, independente do valor de x que a gente escolher, y nunca será negativo. Ele pode ser zero (quando x = -1 ) ou qualquer número positivo. Portanto, a imagem dessa função é todos os números reais não negativos, ou seja, y >= 0 .

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais, x in R .
  • Imagem: Todos os números reais não negativos, y >= 0 .

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