Verifique se as funções a seguir são continuas:
f(x)=x^2+x-6x+3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa função que você tem: f(x)=x^2+x-6x+3. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre o que significa uma função ser contínua e como verificar isso utilizando os conceitos de limites e definições de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se não tiver “quebras”, “saltos” ou “buracos” nesse ponto. No caso de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios, a continuidade depende de onde o denominador não é zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Então, vamos identificar onde o denominador da nossa função, que é x + 3, se anula. Para isso, basta resolver a equação:
x + 3 = 0
x = -3
Isso significa que quando x = -3, o denominador é zero e a função não está definida nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos analisar o numerador: x^2 + x - 6. Podemos tentar fatorar esse polinômio para simplificar a expressão.
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
Então, a função fica:
f(x) = (x + 3)(x - 2)x + 3
Aqui, vemos que o fator x + 3 está no numerador e no denominador, podendo ser simplificado, desde que x neq -3.

Passo 5

Após simplificar, a função fica:
f(x) = x - 2
Essa é uma função linear, que sabemos ser contínua em todos os números reais. Portanto, exceto no ponto onde fizemos a simplificação (ou seja, x = -3), a função original é contínua.

Passo 6

Porém, no ponto x = -3, a função original não está definida, o que cria um “buraco” na gráfica. Isso significa que a função não é contínua nesse ponto específico.

Resposta

A função f(x)=x^2+x-6x+3 é contínua em todos os valores de x exceto em x = -3, onde a função não está definida.

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