Verifique se as funções a seguir são continuas:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa função que você tem:
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre o que significa uma função ser contínua e como verificar isso utilizando os conceitos de limites e definições de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se não tiver “quebras”, “saltos” ou “buracos” nesse ponto. No caso de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios, a continuidade depende de onde o denominador não é zero, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Então, vamos identificar onde o denominador da nossa função, que é
, se anula. Para isso, basta resolver a equação:
Isso significa que quando
, o denominador é zero e a função não está definida nesse ponto.
Passo 4
Agora, vamos analisar o numerador:
. Podemos tentar fatorar esse polinômio para simplificar a expressão.
Então, a função fica:
Aqui, vemos que o fator
está no numerador e no denominador, podendo ser simplificado, desde que
.
Passo 5
Após simplificar, a função fica:
Essa é uma função linear, que sabemos ser contínua em todos os números reais. Portanto, exceto no ponto onde fizemos a simplificação (ou seja,
), a função original é contínua.
Passo 6
Porém, no ponto
, a função original não está definida, o que cria um “buraco” na gráfica. Isso significa que a função não é contínua nesse ponto específico.
Resposta
A função
é contínua em todos os valores de
exceto em
, onde a função não está definida.