( 1 , 0 0 ponto) Considere a transformação T: R^3 R^3, onde
T(x, y, z)=(2 x+z, y, x-2 z)
Resposda:
(a) Possui autovalor(es) real(ais)? Qual(is) é(são)?
(b) É diagonalizável?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = (2x+z,;y,;x-2z)
e pede (a) os autovalores reais de T e (b) se T é diagonalizável. Para isso, vamos obter a matriz de T na base canônica, achar seu polinômio característico, suas raízes e verificar a multiplicidade.

Passo 2

A matriz de T na base canônica e1,e2,e3 é
A = 2 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & -2
pois T(e1)=(2,0,1), T(e2)=(0,1,0) e T(e3)=(1,0,-2).

Passo 3

O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det 2-lambda & 0 & 1 0 & 1-lambda & 0 1 & 0 & -2-lambda
Expandindo pela segunda linha (único termo não-nulo em coluna do meio):
det(A - lambda I) = (1-lambda),det2-lambda & 1[6pt]1 & -2-lambda ]

Passo 4

Calculamos o menor 2times 2:
det2-lambda & 11 & -2-lambda =(2-lambda)(-2-lambda)-1 =-(4 - lambda^2)-1 =lambda^2 -5
Logo o polinômio característico é
(1-lambda)(lambda^2-5)=0,
cujas raízes são
lambda = 1, lambda = raiz5, lambda = -raiz5

Passo 5

Os três autovalores são todos reais e distintos. Em R^3, isso garante três autovetores linearmente independentes, portanto a matriz A (e T) é diagonalizável.

Resposta

(a) Sim. Os autovalores reais são ;1,;raiz5 e -raiz5
(b) Sim. Como os três autovalores são distintos, T é diagonalizável.

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