Discutir o sistema abaixo em função do parâmetro k :
lx+2 y+k z+3 w=3 2 x+4 y+4 z+3 w=9 3 x+6 y+k z+8 w=10

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear com três equações em quatro incógnitas (x,y,z,w) e parâmetro k. Vamos discutir para quais valores de k o sistema é compatível e, em caso afirmativo, quantos graus de liberdade (variáveis livres) ele terá. O método será montar a matriz aumentada e usar eliminação de Gauss para calcular o posto das matrizes de coeficientes e aumentada.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
[cccc|c 1 & 2 & k & 3 & 3 2 & 4 & 4 & 3 & 9 3 & 6 & k & 8 & 10 ]

Passo 3

Aplicamos operações elementares:
R2 R2 - 2R1, R3 R3 - 3R1
Fica
[cccc|c 1 & 2 & k & 3 & 3 0 & 0 & 4-2k & -3 & 3 0 & 0 & -2k & -1 & 1 ]

Passo 4

As duas últimas linhas dão o subsistema em
O determinante desse sistema , então e existe solução única para e . Nesse caso o posto da matriz de coeficientes é (há três pivôs) e o posto da aumentada também é . Como temos incógnitas, restará uma variável livre, gerando infinitas soluções com um parâmetro.
- Se , então e as duas equações em coincidem em
Nesse caso o posto da matriz de coeficientes cai para (pivô em e pivô em ) e o posto da aumentada também é , gerando infinitas soluções com duas variáveis livres.

Resposta

Para todo k, o sistema é compatível indeterminado.
  • Se k neq -1: posto =3, há 1 variável livre to infinitas soluções com 1 parâmetro.
  • Se k = -1: posto =2, há 2 variáveis livres to infinitas soluções com 2 parâmetros.

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