Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u=(0,0,2,-2) e v=(0,1,3,-1) ?
(0,2,2,2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor
,(0,2,2,2)
é combinação linear dos vetores
,u=(0,0,2,-2) e ,v=(0,1,3,-1).
O conteúdo aqui é “combinação linear em R^4”: queremos achar escalares ,a,b tais que
a,u + b,v = (0,2,2,2)

Passo 2

Escrevemos a combinação componente a componente. Para
,u=(u1,u2,u3,u4) e ,v=(v1,v2,v3,v4) temos
a,(0,0,2,-2) + b,(0,1,3,-1) = (0,;b,;2a+3b,;-2a - b)
Esse resultado deve ser igual a (0,2,2,2).

Passo 3

Igualando a segunda componente:
b = 2

Passo 4

Substituindo b=2 na terceira componente:
2a + 3b = 2a + 3cdot 2 = 2a + 6 stackrel!= 2 Longrightarrow 2a = -4 Longrightarrow a = -2

Passo 5

Verificamos a quarta componente com a=-2 e b=2:
-2a - b = -2(-2) - 2 = 4 - 2 = 2,
que coincide com a quarta componente do alvo. Logo o sistema é consistente.

Resposta

Sim.
(0,2,2,2) ;=;-2,u ;+;2,v

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