Para uma treliça com formato triangular, presa em uma parede estando na posição horizontal, possui 11 nós e 19 barras. O nó “o” está na parte superior preso por um pino sendo um apoio de segundo gênero com a parede, verticalmente o nó “o” está ligado por uma barra de 6 m ao nó “n” que fica na parte inferior (nó “n” fica na parte mais baixa da treliça), o nó “n” está apoiado na parede por um rolete sendo um apoio de primeiro gênero. O nó “o” também liga horizontalmente o nó “a” por uma barra de 3 m , o nó “a” tem uma carga vertical para baixo de 74 kN , o nó “a” liga horizontalmente o nó “b” por uma barra de 3 m , o nó “b” tem uma carga vertical para baixo de 34 kN , o nó “b” liga horizontalmente o nó “c” por uma barra de 3 m , o nó “c” tem uma carga vertical para baixo de 56 kN , o nó “c” liga horizontalmente o nó “d” por uma barra de 3 m , o nó “d” tem uma carga vertical para baixo de 38 kN , o nó “d” liga horizontalmente o nó “e” por uma barra de 3 m , o nó “e” tem uma carga vertical para baixo de 74 kN , o nó é o ponto mais afastado horizontalmente da parede. Vamos descrever as barras inclinadas agora, o nó “n” que é o ponto mais baixo da treliça liga o nó “m” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido, o nó “m” está mais acima do nó “n”, o nó “m” liga verticalmente o nó “a” por uma barra de tamanho desconhecido, o nó “m” liga o nó “o” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido. O nó “m” liga o nó “h” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido, o nó “h” está mais acima do nó “m”, o nó “h” liga verticalmente o nó “b” por uma barra de tamanho desconhecido, o nó “h” liga o nó “a” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido. O nó “h” liga o nó “g” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido, o nó “g” está mais acima do nó “h”, o nó “g” liga verticalmente o nó “c” por uma barra de tamanho desconhecido, o nó “g” liga o nó “b” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido. O nó " g " liga o nó " f " por uma barra diagonal de tamanho desconhecido, o nó “f” está mais acima do nó “g”, o nó “f” liga verticalmente o nó “d” por uma barra de tamanho desconhecido, o nó “f” liga o nó “c” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido. O nó " f " liga o nó “e” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido, o nós “o”, “a”, “b”, “c”, “d” e “e” estão na parte mais alta da treliça em relação ao solo.
Temos as seguintes reações de apoio:
Temos as seguintes forças nas barras:
Utilizando o método de Le Verrier encontre o polinômio característico do sistema.
Passo 1
Beleza, o enunciado é sobre uma treliça triangular com 11 nós e 19 barras, onde já estão dadas forças internas e reações de apoio. O que a gente precisa achar é o polinômio característico do “sistema” usando o método de Le Verrier. Para isso, contudo, é fundamental ter em mãos a matriz do sistema (por exemplo, a matriz de rigidez ou a matriz de coeficientes das equações). Sem essa matriz, não conseguimos calcular os valores numéricos do polinômio.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Seja
uma matriz quadrada de ordem
. O polinômio característico de
é
Os coeficientes
dependem de traços de potências de
, isto é,
,
etc.
Passo 3
O método de Le Verrier dá exatamente esses
de forma recursiva:
- Defina
. - Para cada
, calcule
Ou seja, você precisa conhecer
para
até
e ir montando
.
Resposta
Sem a matriz
não dá pra entrar nos números, mas, em forma geral, o polinômio característico do sistema de ordem 11 fica:
onde cada
sai pela fórmula de Le Verrier acima.