Para uma treliça com formato triangular, presa em uma parede estando na posição horizontal, possui 11 nós e 19 barras. O nó “o” está na parte superior preso por um pino sendo um apoio de segundo gênero com a parede, verticalmente o nó “o” está ligado por uma barra de 6 m ao nó “n” que fica na parte inferior (nó “n” fica na parte mais baixa da treliça), o nó “n” está apoiado na parede por um rolete sendo um apoio de primeiro gênero. O nó “o” também liga horizontalmente o nó “a” por uma barra de 3 m , o nó “a” tem uma carga vertical para baixo de 74 kN , o nó “a” liga horizontalmente o nó “b” por uma barra de 3 m , o nó “b” tem uma carga vertical para baixo de 34 kN , o nó “b” liga horizontalmente o nó “c” por uma barra de 3 m , o nó “c” tem uma carga vertical para baixo de 56 kN , o nó “c” liga horizontalmente o nó “d” por uma barra de 3 m , o nó “d” tem uma carga vertical para baixo de 38 kN , o nó “d” liga horizontalmente o nó “e” por uma barra de 3 m , o nó “e” tem uma carga vertical para baixo de 74 kN , o nó é o ponto mais afastado horizontalmente da parede. Vamos descrever as barras inclinadas agora, o nó “n” que é o ponto mais baixo da treliça liga o nó “m” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido, o nó “m” está mais acima do nó “n”, o nó “m” liga verticalmente o nó “a” por uma barra de tamanho desconhecido, o nó “m” liga o nó “o” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido. O nó “m” liga o nó “h” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido, o nó “h” está mais acima do nó “m”, o nó “h” liga verticalmente o nó “b” por uma barra de tamanho desconhecido, o nó “h” liga o nó “a” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido. O nó “h” liga o nó “g” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido, o nó “g” está mais acima do nó “h”, o nó “g” liga verticalmente o nó “c” por uma barra de tamanho desconhecido, o nó “g” liga o nó “b” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido. O nó " g " liga o nó " f " por uma barra diagonal de tamanho desconhecido, o nó “f” está mais acima do nó “g”, o nó “f” liga verticalmente o nó “d” por uma barra de tamanho desconhecido, o nó “f” liga o nó “c” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido. O nó " f " liga o nó “e” por uma barra diagonal de tamanho desconhecido, o nós “o”, “a”, “b”, “c”, “d” e “e” estão na parte mais alta da treliça em relação ao solo.
Temos as seguintes reações de apoio:
& R ox=416 k N & R oy=276 k N & R nx=416 k N
Temos as seguintes forças nas barras:
Fo a=347.5 k N Fa b=295 k N Fb c=232.5 k N Fc d=185 k N Fd e=185 k N Fn o=166.4 k N Fm a=-137 k N
Fh b=-84 k N Fg c=-75 k N Ff d=-38 k N Fm o=129.2 k N Fh a=82 k N Fg b=80 k N Ff c=51.2 k N Fn m=-448 k N Fm h=-374.3 k N Fh g=-317.7 k N Fg f=-250.4 k N Ff e=-199.3 k N
Utilizando o método de Le Verrier encontre o polinômio característico do sistema.

Passo 1

Beleza, o enunciado é sobre uma treliça triangular com 11 nós e 19 barras, onde já estão dadas forças internas e reações de apoio. O que a gente precisa achar é o polinômio característico do “sistema” usando o método de Le Verrier. Para isso, contudo, é fundamental ter em mãos a matriz do sistema (por exemplo, a matriz de rigidez ou a matriz de coeficientes das equações). Sem essa matriz, não conseguimos calcular os valores numéricos do polinômio.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O polinômio característico de A é
p(lambda);=;detl(A-lambda Ir) ;=;(-1)^nl(lambda^n - c1,lambda^n-1 + c2,lambda^n-2 - dots +(-1)^n cnr)
Os coeficientes ck dependem de traços de potências de A, isto é, tr(A), tr(A^2) etc.

Passo 3

O método de Le Verrier dá exatamente esses ck de forma recursiva:
  1. Defina c0=1.
  2. Para cada k=1,2,dots,n, calcule
ck ;=;1ksumi=1^k(-1)^,i-1,c,k-i,trl(A^ir)
Ou seja, você precisa conhecer tr(A^i) para i=1 até n e ir montando c1, c2,dots,cn.

Resposta

Sem a matriz A não dá pra entrar nos números, mas, em forma geral, o polinômio característico do sistema de ordem 11 fica:
boxed p(lambda) =lambda^11 - c1,lambda^10 + c2,lambda^9 -dots +(-1)^11,c11
onde cada ck sai pela fórmula de Le Verrier acima.

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