(2.) Mostre que o sistema é incompatível (ou impossível) se, e somente se, c neq 3 b-2 d :
l x+2 y+3 z=a x+3 y+4 z=b x+3 y+6 z=c x+3 y+3 z=d

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x+2y+3z = a, x+3y+4z = b, x+3y+6z = c, x+3y+3z = d,
e pede para mostrar que ele não tem solução se, e somente se, c neq 3b - 2d. O conteúdo aqui é compatibilidade de sistemas lineares, que vamos verificar por eliminação (combinações lineares das equações).

Passo 2

Subtraindo a equação 1 da equação 4, temos
l(x+3y+3zr);-;l(x+2y+3zr) ;=; d - a
Mas o lado esquerdo vale y, logo
y = d - a

Passo 3

Subtraindo a equação 1 da equação 2, obtemos
l(x+3y+4zr);-;l(x+2y+3zr) ;=; b - a,
isto é,
y + z = b - a

Passo 4

Como y = d - a, da relação y+z = b-a segue
z = (b - a) - (d - a) = b - d

Passo 5

Agora subtraímos a equação 1 da equação 3:
l(x+3y+6zr);-;l(x+2y+3zr) ;=; c - a,
ou seja
y + 3z = c - a
Substituindo y = d-a e z = b-d nisso, vem
(d - a) ;+;3(b - d) ;=; c - a Longrightarrow 3b - 2d - a = c - a Longrightarrow c = 3b - 2d

Passo 6

Concluímos que, para existir solução, é necessário e suficiente ter
c = 3b - 2d
Portanto, o sistema é incompatível exatamente quando c neq 3b - 2d.

Resposta

O sistema é incompatível se, e somente se, c neq 3b - 2d.

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