Discutir os sistemas abaixo, nas variáveis x, y e z.
a) lx-y=2 2 x+a y=b
b) lx+y+z=0 x-y+m z=2 m x+2 y+z=-1
c) la x+3 a y=0 2 x+a y=4
d) l3 x-3 y+7 z=k-1 b x-5 y+6 z=2 9 y-4 z=2

Passo 1

O enunciado pede discutir a compatibilidade (existência e tipo de solução) de quatro sistemas lineares em x,y,z que envolvem parâmetros ( a,b,m,k). Vamos usar que, para um sistema Ax=b quadrado, se det(A)neq0 então há solução única (sistema determinado); se det(A)=0 então o sistema pode ser ou indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (nenhuma), conforme o vetor b pertencer ou não ao espaço coluna de A. Nas dimensões 2times 2 e 3times 3, aplicamos isso calculando determinantes e, quando necessário, resolvemos subcasos para ver compatibilidade pelo Teorema de Rouché–Frobenius.

Passo 2

Sistema (a)
x - y = 2, 2x + a,y = b
A matriz de coeficientes é
A = 1 & -1[6pt]2 & a,
cujo determinante é
det(A) = 1cdot a - (-1)cdot 2 = a + 2
  • Se a+2neq0, então det(A)neq0 e o sistema é determinado (solução única).
  • Se a+2=0, isto é a=-2, então det(A)=0 e passamos a verificar compatibilidade. Substituindo a=-2, as equações viram x - y = 2, 2x -2y = b ;Longrightarrow;2(x-y)=b Como x-y=2, a segunda dá 2cdot2=b, ou seja b=4.
    bul<=t Se b=4, as duas equações são múltiplas e há infinitas soluções (indeterminado).
    bul<=t Se bneq4, contradizem-se, não há solução (impossível).]

Passo 3

Sistema (b)
A matriz de coeficientes é
Calculamos
  • Se (isto é ), o sistema é determinado.
  • Se , então . Substituindo , do terceiro e segundo chega-se a contradição , logo impossível.
  • Se , também . Para resolvendo os dois primeiros achamos e , o terceiro é redundante, então há infinitas soluções do tipo

Passo 4

Sistema (c)
a,x + 3a,y = 0, 2x + a,y = 4
A matriz de coeficientes é
A = a & 3a2 & a, det(A) = acdot a - 3acdot2 = a(a-6)
  • Se a(a-6)neq0 ( aneq0,6), então det(A)neq0 e o sistema é determinado.
  • Se a=0, as equações ficam 0=0 e 2x=4, daí x=2 e y livre to infinitas soluções ( x=2,yin R).
  • Se a=6, as equações são 6x+18y=0 ( x+3y=0) e 2x+6y=4 ( x+3y=2), o que é contraditório to impossível.

Passo 5

Sistema (d)
3x -3y +7z = k-1, b,x -5y +6z = 2, 9y -4z = 2
A matriz de coeficientes é
A = 3 & -3 & 7 b & -5 & 6 0 & 9 & -4 ,
e seu determinante é
det(A) = 51,b - 102 = 51(b-2)
  • Se bneq2, então det(A)neq0 e o sistema é determinado.
  • Se b=2, então det(A)=0 e substituímos na eq. 3 ( 9y-4z=2) para expressar z em função de y e reduzimos as duas primeiras. Elas só coincidem se k=5;
    bul<=t Se k=5, há infinitas soluções ao longo de uma reta.
    bul<=t Se kneq5, surge contradição e o sistema é impossível.

Resposta

a) det= a+2.
bul<=t aneq-2: sistema determinado.
bul<=t a=-2 e b=4: indeterminado (infinitas soluções).
bul<=t a=-2 e bneq4: impossível.
b) det=m(m-1).
bul<=t mneq0,1: determinado.
bul<=t m=0: impossível.
bul<=t m=1: indeterminado ( y=-1,;x=t,;z=1-t).
c) det=a(a-6).
bul<=t aneq0,6: determinado.
bul<=t a=0: indeterminado ( x=2,;yin R).
bul<=t a=6: impossível.
d) det=51(b-2).
bul<=t bneq2: determinado.
bul<=t b=2,;k=5: indeterminado.
bul<=t b=2,;kneq5: impossível.

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