Seja um triedro de faces iguais, e consideremos os segmentos A M=A N=A P=a, todos partindo do vértice A. Qual deve ser o valor comum do ângulo dessas faces para que:
o volume desse tetraedro seja máximo?

Passo 1

O enunciado descreve um tetraedro cujos vértices são A, M, N e P, em que ,AM=AN=AP=a e os três ângulos no vértice A formados pelos pares de arestas (AM,AN), (AN,AP) e (AP,AM) são todos iguais a um valor alpha. O objetivo é usar geometria vetorial e determinantes (Gram) para expressar o volume em função de alpha e, em seguida, encontrar o valor de alpha que maximiza esse volume.

Passo 2

Sejam u,v,w os vetores AM,AN,AP. Então
|u|=|v|=|w|=a, ucdotv=vcdotw=wcdotu=a^2cosalpha
O volume do tetraedro é
V = 16l|det[u,v,w]r| =a^36raizdet M,
onde M é a matriz de Gram
M = 1 & cosalpha & cosalpha cosalpha & 1 & cosalpha cosalpha & cosalpha & 1
Calcula-se
det M = 1 + 2cos^3alpha - 3cos^2alpha,
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V(alpha) = a^36raiz,1 + 2cos^3alpha - 3cos^2alpha,

Passo 3

Para achar o máximo, basta derivar o argumento da raiz em relação a alpha. Defina
f(alpha)=1+2cos^3alpha-3cos^2alpha
Temos
f'(alpha) =(6cos^2alpha-6cosalpha),(-sinalpha) =-6cosalpha(cosalpha-1)sinalpha
As condições críticas vêm de f'(alpha)=0, ou seja, sinalpha=0 ou cosalpha=0 ou cosalpha=1.

Passo 4

Analisando as soluções:
  • alpha=0 ou alpha=pi tornam o tetraedro degenerado ( V=0).
  • cosalpha=1 é equivalente a alpha=0 (já vista).
  • cosalpha=0 alpha=tfracpi2, que é a única que produz volume não-nulo. Nesse ponto
fl(tfracpi2r)=1,
e portanto V atinge seu valor máximo tfraca^36.

Passo 5

Concluímos que o tetraedro tem volume máximo quando os três ângulos no vértice A são retos, ou seja, alpha=tfracpi2.

Resposta

alpha = pi2

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