Seja um triedro de faces iguais, e consideremos os segmentos
, todos partindo do vértice
. Qual deve ser o valor comum do ângulo dessas faces para que:
a superfície lateral do tetraedro
, de base
, seja máxima?
a superfície lateral do tetraedro
Passo 1
O enunciado descreve um triedro em
cujas três faces têm o mesmo ângulo plano em
; esse ângulo vamos chamar de
. Sobre cada aresta do triedro, marcamos pontos
,
e
tais que
Formamos então o tetraedro
, cuja base é
e cujas faces laterais são os triângulos
,
e
. Precisamos maximizar a soma das áreas desses três triângulos em função de
.
Passo 2
Cada face lateral é um triângulo isósceles com lados
e ângulo entre eles igual a
. A área de um desses triângulos vale
Como há três dessas faces, a superfície lateral total é
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza
, derivamos em relação a
:
A condição de extremo verifica-se em
, ou seja,
(num intervalo
é essa a única raiz).
Passo 4
Verificamos que em
temos
e nos extremos do domínio (
ou
) a superfície vai a zero. Logo
dá o máximo de
.