Seja um triedro de faces iguais, e consideremos os segmentos A M=A N=A P=a, todos partindo do vértice A. Qual deve ser o valor comum do ângulo dessas faces para que:
a superfície lateral do tetraedro A M N P, de base M N P, seja máxima?

Passo 1

O enunciado descreve um triedro em A cujas três faces têm o mesmo ângulo plano em A; esse ângulo vamos chamar de alpha. Sobre cada aresta do triedro, marcamos pontos M, N e P tais que
AM = AN = AP = a
Formamos então o tetraedro AMNP, cuja base é MNP e cujas faces laterais são os triângulos AMN, ANP e APM. Precisamos maximizar a soma das áreas desses três triângulos em função de alpha.

Passo 2

Cada face lateral é um triângulo isósceles com lados a,a e ângulo entre eles igual a alpha. A área de um desses triângulos vale
Áreaface = tfrac12,acdot a;sinalpha = tfrac12,a^2sinalpha Á
Como há três dessas faces, a superfície lateral total é
S(alpha) = 3;l(tfrac12,a^2sinalphar) = tfrac32,a^2sinalpha

Passo 3

Para encontrar o valor de alpha que maximiza S(alpha), derivamos em relação a alpha:
S'(alpha) = tfrac32,a^2cosalpha
A condição de extremo verifica-se em S'(alpha)=0, ou seja,
cosalpha = 0 Longrightarrow alpha = tfracpi2
(num intervalo (0,pi) é essa a única raiz).

Passo 4

Verificamos que em alpha=tfracpi2 temos sinalpha=1 e nos extremos do domínio ( alphato0 ou alphatopi) a superfície vai a zero. Logo alpha=tfracpi2 dá o máximo de S(alpha).

Resposta

alpha = pi2 ( 90circ)

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