Seja P o pé da reta r perpendicular a um plano beta e s uma reta de beta que não passa por P. Traçando-se por P uma perpendicular a s, esta encontra s em um ponto Q. Se A é um ponto qualquer de r, diga qual é o ângulo de A Q com s. Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que temos um plano beta e uma reta r perpendicular a beta em P. Há uma reta ssubsetbeta que não passa por P. Traçando pelo ponto P a perpendicular a s, obtemos o ponto Qin s. Se A é um ponto qualquer de r, queremos achar o ângulo entre a reta AQ e a reta s. Para isso, vamos usar o conceito de projeção ortogonal de uma reta sobre um plano: o ângulo entre uma reta e uma reta num plano é o ângulo entre a projeção desta reta sobre o plano e a reta dada.

Passo 2

Como rperpbeta em P, qualquer ponto A de r projeta ortogonalmente em beta no próprio P. Logo, a projeção ortogonal do segmento AQ sobre beta é o segmento que une a projeção de A (que é P) à projeção de Q (que é Q mesmo). Em outras palavras, a projeção de AQ em beta é PQ.

Passo 3

Pela construção do problema, PQ foi traçado perpendicular a s. Portanto,
PQ;perp;s

Passo 4

Pela definição de ângulo entre uma reta l e uma reta m contida num plano, temos
ang<=(l,m);=;ang<=(projeção de l no plano,,m) çã
Aqui l=AQ e m=s, e vimos que a projeção de AQ é PQ, que é perpendicular a s. Logo o ângulo entre AQ e s vale
90^circ

Resposta

O ângulo entre AQ e s é 90^circ.

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