Seja o pé da reta perpendicular a um plano e uma reta de que não passa por . Traçando-se por uma perpendicular a , esta encontra em um ponto . Se é um ponto qualquer de , diga qual é o ângulo de com . Justifique.
Passo 1
O enunciado diz que temos um plano e uma reta perpendicular a em . Há uma reta que não passa por . Traçando pelo ponto a perpendicular a , obtemos o ponto . Se é um ponto qualquer de , queremos achar o ângulo entre a reta e a reta . Para isso, vamos usar o conceito de projeção ortogonal de uma reta sobre um plano: o ângulo entre uma reta e uma reta num plano é o ângulo entre a projeção desta reta sobre o plano e a reta dada.
Passo 2
Como em , qualquer ponto de projeta ortogonalmente em no próprio . Logo, a projeção ortogonal do segmento sobre é o segmento que une a projeção de (que é ) à projeção de (que é mesmo). Em outras palavras, a projeção de em é .
Passo 3
Pela construção do problema, PQ foi traçado perpendicular a s. Portanto,
PQ;perp;s
Passo 4
Pela definição de ângulo entre uma reta l e uma reta m contida num plano, temos
ang<=(l,m);=;ang<=(projeção de l no plano,,m) çã
Aqui l=AQ e m=s, e vimos que a projeção de AQ é PQ, que é perpendicular a s. Logo o ângulo entre AQ e s vale