Dispondo de 5 homens e 6 mulheres, de quantos modos se pode:
enfileirar 3 destas pessoas?
enfileirar 3 destas pessoas?
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais informações temos:
- O enunciado diz que há
homens e mulheres. - Então o total de pessoas disponíveis é
. - A pergunta é: de quantos modos se pode enfileirar
destas pessoas?
Isto é, escolherpessoas dentre as e colocá‑las em linha (a ordem importa).
Passo 2
Entendendo o que significa “enfileirar
pessoas”:
- Enfileirar significa formar uma disposição em linha onde a posição de cada pessoa importa (primeiro, segundo, terceiro).
- Não se repete a mesma pessoa em duas posições (cada pessoa usada no máximo uma vez).
Portanto estamos contando arranjos sem repetição de tamanhoa partir de um conjunto de elementos.
Passo 3
Explicando a regra do produto (princípio multiplicativo) que vamos usar:
- Se um processo é composto de etapas sequenciais e a primeira etapa tem
possibilidades, a segunda tem possibilidades (independente da primeira), e a terceira tem possibilidades, então o total de possibilidades do processo completo é . - Aqui as etapas são: escolher quem fica em 1.
ª posição, escolher quem fica em 2. ª posição, escolher quem fica em 3. ª posição. Como não se repete pessoa, o número de opções diminui a cada escolha.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso:
- Para a 1.
ª posição há possibilidades. Então escrevemos a contagem parcial como . - Depois de escolher a 1.
ª pessoa, restam pessoas; para a 2. ª posição há possibilidades. Agora o total parcial é . - Depois de escolher as duas primeiras, restam
pessoas; para a 3. ª posição há possibilidades. O total final é
Passo 5
Uma segunda forma (fórmula de permutação) que dá o mesmo resultado:
- Defina
e . A fórmula dos arranjos (permutações sem repetição de elementos dentre ) é
- Substituindo
e temos
pois
e o
cancela.
Passo 6
Fazendo a multiplicação de forma simples (sem calculadora):
Logo o número total de maneiras de enfileirar
pessoas dentre as
é
.