Dispondo de 5 homens e 6 mulheres, de quantos modos se pode:
enfileirar 3 destas pessoas?

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais informações temos:
  • O enunciado diz que há 5 homens e 6 mulheres.
  • Então o total de pessoas disponíveis é 5+6=11.
  • A pergunta é: de quantos modos se pode enfileirar 3 destas pessoas?
    Isto é, escolher 3 pessoas dentre as 11 e colocá‑las em linha (a ordem importa).

Passo 2

Entendendo o que significa “enfileirar 3 pessoas”:
  • Enfileirar significa formar uma disposição em linha onde a posição de cada pessoa importa (primeiro, segundo, terceiro).
  • Não se repete a mesma pessoa em duas posições (cada pessoa usada no máximo uma vez).
    Portanto estamos contando arranjos sem repetição de tamanho 3 a partir de um conjunto de 11 elementos.

Passo 3

Explicando a regra do produto (princípio multiplicativo) que vamos usar:
  • Se um processo é composto de etapas sequenciais e a primeira etapa tem a possibilidades, a segunda tem b possibilidades (independente da primeira), e a terceira tem c possibilidades, então o total de possibilidades do processo completo é a\cdot b\cdot c.
  • Aqui as etapas são: escolher quem fica em 1. \!ª posição, escolher quem fica em 2. \!ª posição, escolher quem fica em 3. \!ª posição. Como não se repete pessoa, o número de opções diminui a cada escolha.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • Para a 1. \!ª posição há 11 possibilidades. Então escrevemos a contagem parcial como 11.
  • Depois de escolher a 1. \!ª pessoa, restam 10 pessoas; para a 2. \!ª posição há 10 possibilidades. Agora o total parcial é 11\cdot10.
  • Depois de escolher as duas primeiras, restam 9 pessoas; para a 3. \!ª posição há 9 possibilidades. O total final é
11\cdot10\cdot9.

Passo 5

Uma segunda forma (fórmula de permutação) que dá o mesmo resultado:
  • Defina n=11 e k=3. A fórmula dos arranjos (permutações sem repetição de k elementos dentre n) é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}.
  • Substituindo n=11 e k=3 temos
P(11,3)=\frac{11!}{8!}=11\cdot10\cdot9,
pois 11!=11\cdot10\cdot9\cdot8! e o 8! cancela.

Passo 6

Fazendo a multiplicação de forma simples (sem calculadora):
11\cdot10=110,
110\cdot9=990.
Logo o número total de maneiras de enfileirar 3 pessoas dentre as 11 é 990.

Resposta

990

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