Dispondo de 5 homens e 6 mulheres, de quantos modos se pode:
formar uma dupla?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem 5 homens.
  • Existem 6 mulheres.
A pergunta é:
  • De quantos modos se pode formar uma dupla (isto é, um par de duas pessoas) escolhendo entre essas pessoas?

Passo 2

Vamos entender claramente o que significa “formar uma dupla”: trata-se de escolher 2 pessoas dentre as 5+6 disponíveis, sem considerar ordem (uma dupla \{A,B\} é a mesma que \{B,A\}). Para contar escolhas de k elementos dentre n sem ordem usamos o número de combinações, dado pela fórmula
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) significa
n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1,
e representa o produto de todos os inteiros positivos até n. Na fórmula, n é o total de elementos disponíveis e k é quantos escolhemos.

Passo 3

Aplicando diretamente: o total de pessoas é 5+6=11. Queremos escolher 2 dentre 11, portanto
\binom{11}{2}=\frac{11!}{2!\,9!}.
Simplificando racionalmente o fatorial (para evitar calcular números grandes), note que
\frac{11!}{9!} = 11\cdot 10,
pois ao dividir 11! por 9! cancelam-se os termos de 9!. Assim
\binom{11}{2}=\frac{11\cdot 10}{2!}=\frac{11\cdot 10}{2} = 11\cdot 5 = 55.

Passo 4

Para fixar a ideia, veja uma verificação por casos (é uma estratégia útil em provas): uma dupla pode ser formada de três maneiras mutuamente exclusivas:
  • dois homens: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2}=10,
  • duas mulheres: \binom{6}{2}=\dfrac{6\cdot5}{2}=15,
  • um homem e uma mulher: 5\cdot 6 = 30 (escolhe-se um dos 5 homens e um dos 6 mulheres).
Somando os casos:
10 + 15 + 30 = 55,
que coincide com o cálculo por \binom{11}{2}. Isso confirma que a resposta está correta.

Passo 5

Resumo e incentivo: portanto, existem 55 duplas possíveis. Ótimo trabalho por chegar até aqui — já sabe duas formas de pensar na resposta (combinação direta e soma por casos), o que é muito útil para provas!

Resposta

55

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