Dispondo de 5 homens e 6 mulheres, de quantos modos se pode:
formar uma comissão composta de 2 homens e 3 mulheres?
formar uma comissão composta de 2 homens e 3 mulheres?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
homens disponíveis. - Há
mulheres disponíveis. - Pede-se formar uma comissão composta de
homens e mulheres.
As perguntas implícitas são:
- De quantos modos escolher
homens entre os disponíveis? - De quantos modos escolher
mulheres entre as disponíveis? - Como combinar essas escolhas para obter o número total de comissões?
Passo 2
Ideia e método (explicação didática):
- Quando queremos escolher
elementos de um conjunto de elementos sem nos importarmos com a ordem, usamos a combinação . - A razão é que numa comissão a ordem dos membros não importa (trocar A por B não cria uma comissão diferente).
- Fórmula das combinações:
Aqui
(lê-se “
fatorial”) é o produto dos inteiros positivos de
até
:
- Aplicamos a combinação separadamente para homens e mulheres e depois usamos a regra do produto: se uma escolha pode ser feita de
modos e outra independente de modos, o número total de pares de escolhas é .
Passo 3
Escolhas de homens:
- Precisamos escolher
homens dentre , então calculamos . - Usando a fórmula ou simplificando direto:
Explicação: numerador vem de
(escolhas sem ordem) e denominar corrige pela ordem (
).
Passo 4
Escolhas de mulheres:
- Precisamos escolher
mulheres dentre , então calculamos . - Calculando:
Explicação: multiplicamos três primeiros fatores decrecentes no numerador e dividimos por
para eliminar permutações internas.
Passo 5
Combinar as escolhas:
- As escolhas de homens e mulheres são independentes, então aplicamos a regra do produto.
- Número total de comissões