Dispondo de 5 homens e 6 mulheres, de quantos modos se pode:
formar uma comissão composta de 2 homens e 3 mulheres?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 5 homens disponíveis.
  • 6 mulheres disponíveis.
  • Pede-se formar uma comissão composta de 2 homens e 3 mulheres.
As perguntas implícitas são:
  • De quantos modos escolher 2 homens entre os 5 disponíveis?
  • De quantos modos escolher 3 mulheres entre as 6 disponíveis?
  • Como combinar essas escolhas para obter o número total de comissões?

Passo 2

Ideia e método (explicação didática):
  • Quando queremos escolher k elementos de um conjunto de n elementos sem nos importarmos com a ordem, usamos a combinação \binom{n}{k}.
  • A razão é que numa comissão a ordem dos membros não importa (trocar A por B não cria uma comissão diferente).
  • Fórmula das combinações: \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto dos inteiros positivos de 1 até n: n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
  • Aplicamos a combinação separadamente para homens e mulheres e depois usamos a regra do produto: se uma escolha pode ser feita de A modos e outra independente de B modos, o número total de pares de escolhas é A\cdot B.

Passo 3

Escolhas de homens:
  • Precisamos escolher 2 homens dentre 5, então calculamos \binom{5}{2}.
  • Usando a fórmula ou simplificando direto: \binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
Explicação: numerador vem de 5\cdot4 (escolhas sem ordem) e denominar corrige pela ordem ( 2!).

Passo 4

Escolhas de mulheres:
  • Precisamos escolher 3 mulheres dentre 6, então calculamos \binom{6}{3}.
  • Calculando: \binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20.
Explicação: multiplicamos três primeiros fatores decrecentes no numerador e dividimos por 3! para eliminar permutações internas.

Passo 5

Combinar as escolhas:
  • As escolhas de homens e mulheres são independentes, então aplicamos a regra do produto.
  • Número total de comissões =\binom{5}{2}\cdot\binom{6}{3}=10\cdot20=200.

Resposta

200

Exercícios relacionados