A disponibilidade diária de determinado produto é variável, conforme mostrado na tabela 1, já que depende da sobra de matéria prima do processo de fabricação do produto principal. O número de clientes que procuram o produto também é variável e segue uma distribuição de Poisson, com média de 24 clientes por dia. Entretanto, desses clientes que chegam, a probabilidade de um cliente adquirir um produto é de 70 \%. Sabe-se que cada produto vendido dá um lucro de \mathrm{R} \ 100,00 e que cada produto não vendido dá um prejuízo de R\ãáí 40,00. Pede-se calcular, por simulação, o lucro líquido médio obtido em uma semana de operação. Considere os números aleatórios 55,61,21,36,91,1,34,57,90,78,50, 68,49,43,39,74,39,41,63,87,88,71,91,97 para determinar a quantidade de itens vendidos diariamente. E utilize a seguinte sequência de números aleatórios para determinar a quantidade de produtos fabricados por dia da semana 55,61,21,36,91,1,54.
Tabela 1
Produtos Feitos por Dia Probabilidade
10 15
14 20
18 30
22 20
26 15

Passo 1

O enunciado pede para simular o lucro líquido médio em uma semana, sabendo que diariamente se fabrica uma quantidade M de itens (tabela 1) e se vende uma quantidade S de itens, onde o número de clientes é \mathrm{Poisson}(24) e cada cliente compra com probabilidade 0{,}7. Pela propriedade de “thinning” de Poisson, o total de itens vendidos em um dia também é \mathrm{Poisson}(\lambda=24\cdot0{,}7=16{,}8). Vamos usar os números aleatórios fornecidos para gerar, dia a dia, M e S, e então calcular o lucro diário
\text{lucro} = 100\cdot\min(M,S)\;-\;40\cdot\max(0,\,M-S)
e, por fim, somar os 7 dias para obter o lucro semanal.

Passo 2

Determinar M por inversão usando a tabela
\begin{array}{c|ccccc} M & 10 & 14 & 18 & 22 & 26\\hline P(M) &0{,}15&0{,}20&0{,}30&0{,}20&0{,}15 \end{array}
Cumulativa: 0{,}15,\;0{,}35,\;0{,}65,\;0{,}85,\;1{,}00. Convertendo cada número aleatório r em u=r/100, obtemos:
r =55,61, 21,36, 91,1, 54 \implies u=0{,}55,0{,}61,0{,}21,0{,}36,0{,}91,0{,}01,0{,}54.
Cada u cai em:
M=[18,\,18,\,14,\,18,\,26,\,10,\,18].

Passo 3

Determinar S\sim\mathrm{Poisson}(16{,}8) por inversão. Com u=r/100 para r =55,61, 21,36, 91,1, 34 (usamos os sete primeiros números da sequência de 24), e a CDF aproximada de \mathrm{Poisson}(16{,}8) via tabela ou normal corrigida, obtemos:
S=[17,\,18,\,13,\,15,\,22,\,7,\,15].

Passo 4

Para cada dia i=1,\dots,7 calculamos
\text{lucro}_i =100\cdot\min(M_i,S_i)\;-\;40\cdot\max(0,\,M_i-S_i).

Passo 5

Computando dia a dia:
dia 1: M=18,\,S=17\implies 100\cdot17-40\cdot1=1\,660
dia 2: 18,\,18\implies100\cdot18-0=1\,800
dia 3: 14,\,13\implies100\cdot13-40\cdot1=1\,260
dia 4: 18,\,15\implies100\cdot15-40\cdot3=1\,380
dia 5: 26,\,22\implies100\cdot22-40\cdot4=2\,040
dia 6: 10,\,7\implies100\cdot7-40\cdot3=580
dia 7: 18,\,15\implies100\cdot15-40\cdot3=1\,380

Passo 6

Somando os 7 dias, o lucro total na semana é
1\,660+1\,800+1\,260+1\,380+2\,040+580+1\,380 =10\,100.

Resposta

O lucro líquido médio obtido em uma semana de operação, pela simulação com os números fornecidos, é de R$ 10100,00.

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