1- (4 pontos) Em uma avaliação de múltipla escolha, cada questão tem 5 opçōes. Um estudante sabe (com certeza) 40% das questöes. Escolhendo uma questão ao acaso, dê a probabilidade de:
a) O estudante acertar a questão.
b) Sabendo que o estudante acertou a questão, qual a probabilidade de que ele não saiba essa questão?

Passo 1

O enunciado diz que o estudante sabe com certeza 40\% das questões e, se não sabe (probabilidade 60\%), chuta uma das 5 alternativas ao acaso. Precisamos calcular
(a) a probabilidade de ele acertar uma questão escolhida ao acaso e
(b) a probabilidade de ele não saber a questão dado que ele acertou.
Para isso vamos usar a lei da probabilidade total e, depois, o Teorema de Bayes.

Passo 2

Para obter P(\text{acertar}) dividimos em dois casos:
  1. Se ele sabe, acerta com probabilidade 1.
  2. Se ele não sabe, chuta e acerta com probabilidade \tfrac{1}{5}.
    Pela lei da probabilidade total,
P(\text{acertar}) = P(\text{sabe})\cdot 1 + P(\text{não sabe})\cdot \frac{1}{5} = 0,4 + 0,6\cdot 0,2 = 0,52.ã

Passo 3

Para P(\text{não saber}\mid\text{acertar})ã usamos o Teorema de Bayes:
P(\text{não saber}\mid\text{acertar}) = \frac{P(\text{não saber}\cap \text{acertar})}{P(\text{acertar})} = \frac{P(\text{não sabe})\,P(\text{acertar}\mid \text{não sabe})}{P(\text{acertar})} = \frac{0,6\cdot0,2}{0,52} = \frac{0,12}{0,52} = \frac{3}{13}.ãããã

Resposta

(a) \tfrac{13}{25}.
(b) \tfrac{3}{13}.

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