Um dispositivo eletrônico é formado por 2 componentes. O componente 1 funciona com probabilidade de 0,9 e o componente 2 funciona com probabilidade 0,7. Suponha que os componentes funcionem de forma independente. O dispositivo falha quando algum componente falha.
Sabendo que o dispositivo falhou, calcule a probabilidade do componente 1 ter falhado.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um dispositivo eletrônico composto por dois componentes:
  • Componente 1: Funciona com probabilidade de 0,9.
  • Componente 2: Funciona com probabilidade de 0,7.
Os componentes funcionam de forma independente, ou seja, o funcionamento de um não afeta o do outro. O dispositivo falha se qualquer um dos componentes falhar. A pergunta é: Dado que o dispositivo falhou, qual é a probabilidade de o Componente 1 ter falhado?
Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • A: O dispositivo falha.
  • B: O Componente 1 falha.
Queremos encontrar $ P(B|A) $, ou seja, a probabilidade de o Componente 1 ter falhado dado que o dispositivo falhou.

Passo 3

Usamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(B|A) = P(B cap A)P(A)
Isso significa que precisamos encontrar a probabilidade de ambos os eventos A e B ocorrerem juntos ($ P(B \cap A) P(B cap A) P(A) $).

Passo 4

Como o dispositivo falha se qualquer componente falha, a probabilidade de o dispositivo falhar é a probabilidade de C1 falhar ou C2 falhar. Como os eventos são independentes, podemos calcular $ P(A) $ assim:
P(A)
Substituindo os valores:
P(A) = P(C1 falha) + P(C2 falha) - P(C1 falha) times P(C2 falha)

Passo 5

Agora, vamos encontrar $ P(B \cap A) $. Como se o Componente 1 falha, o dispositivo certamente falha (independente do Componente 2), então:
P(B cap A)

Passo 6

Agora, aplicamos os valores na fórmula da probabilidade condicional:
P(B|A) = P(B cap A)P(A) = 0,10,37 approx 0,2703

Resposta

A probabilidade de o Componente 1 ter falhado, dado que o dispositivo falhou, é aproximadamente 27,03%.

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