Suponha que o peso das Tilápias criadas, aos 12 meses, é descrito como uma distribuição uniforme entre 250 e 400 gr. Numa amostra aleatória de 40 Tilápias, qual é a probabilidade do peso total dos peixes ser superior a 12 kg ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de Distribuição Uniforme, onde o peso das Tilápias aos 12 meses varia igualmente entre 250 e 400 gramas. A gente vai trabalhar com uma amostra de 40 peixes e quer saber a probabilidade do peso total desses peixes ser maior que 12 kg. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre médias, somas de variáveis aleatórias e a distribuição que elas formam.

Passo 2

Primeiro, vamos converter tudo para a mesma unidade. 12 kg é igual a 12.000 gramas.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de que a soma dos pesos de 40 Tilápias seja maior que 12.000 gramas. Para simplificar, vamos calcular a média que esse total representa.

Passo 4

A média de cada Tilápia numa distribuição uniforme entre 250 e 400 gramas é:
mu = 250 + 4002 = 325 gramas

Passo 5

Então, a média total para 40 Tilápias seria:
mutotal = 40 times 325 = 13.000 gramas

Passo 6

Queremos a probabilidade de a soma ser maior que 12.000 gramas. Primeiro, calculamos o desvio disso em relação à média:
13.000 - 12.000 = 1.000 gramas

Passo 7

Agora, vamos calcular o desvio padrão da soma. Para uma distribuição uniforme, a variância de uma única Tilápia é:
sigma^2 = (b - a)^212 = (400 - 250)^212 = 150^212 = 22.50012 = 1.875
Então, o desvio padrão para uma Tilápia é:
sigma = raiz1.875 approx 1.369 gramas

Passo 8

Para 40 Tilápias, a variância total é:
sigma^2total = 40 times 1.875 = 75
E o desvio padrão total é:
sigmatotal = raiz75 approx 8.660 gramas

Passo 9

Agora, usando a aproximação normal (pelo Teorema Central do Limite, já que a amostra é grande), podemos calcular o Z-score para 12.000 gramas:
Z = 12.000 - 13.0008.660 approx -1.0008.660 approx -115,47

Passo 10

Esse Z-score está extremamente abaixo da média, indicando que a probabilidade de a soma ser maior que 12.000 gramas é praticamente 1, ou seja, 100%.

Resposta

A probabilidade do peso total das 40 Tilápias ser superior a 12 kg é praticamente 100%.

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