Suponha que o peso das Tilápias criadas, aos 12 meses, é descrito como uma distribuição uniforme entre 250 e 400 gr. Numa amostra aleatória de 40 Tilápias, qual é a probabilidade do peso total dos peixes ser superior a 12 kg ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de Distribuição Uniforme, onde o peso das Tilápias aos 12 meses varia igualmente entre 250 e 400 gramas. A gente vai trabalhar com uma amostra de 40 peixes e quer saber a probabilidade do peso total desses peixes ser maior que 12 kg. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre médias, somas de variáveis aleatórias e a distribuição que elas formam.
Passo 2
Primeiro, vamos converter tudo para a mesma unidade. 12 kg é igual a 12.000 gramas.
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de que a soma dos pesos de 40 Tilápias seja maior que 12.000 gramas. Para simplificar, vamos calcular a média que esse total representa.
Passo 4
A média de cada Tilápia numa distribuição uniforme entre 250 e 400 gramas é:
Passo 5
Então, a média total para 40 Tilápias seria:
Passo 6
Queremos a probabilidade de a soma ser maior que 12.000 gramas. Primeiro, calculamos o desvio disso em relação à média:
Passo 7
Agora, vamos calcular o desvio padrão da soma. Para uma distribuição uniforme, a variância de uma única Tilápia é:
Então, o desvio padrão para uma Tilápia é:
Passo 8
Para 40 Tilápias, a variância total é:
E o desvio padrão total é:
Passo 9
Agora, usando a aproximação normal (pelo Teorema Central do Limite, já que a amostra é grande), podemos calcular o Z-score para 12.000 gramas:
Passo 10
Esse Z-score está extremamente abaixo da média, indicando que a probabilidade de a soma ser maior que 12.000 gramas é praticamente 1, ou seja, 100%.
Resposta
A probabilidade do peso total das 40 Tilápias ser superior a 12 kg é praticamente 100%.