Numa engarrafadora de cerveja, o volume de enchimento das garrafas de 600 ml é considerado normal, e sabe-se que o desvio padrão é 15 ml. Suponha que a máquina esta calibrada, e escolhe-se ao acaso uma amostra de 12 garrafas.
(a) Qual é a probabilidade de que o volume médio (i) seja no mínimo 585 ml ? (ii) esteja entre 595 e 610 ml.
(b) Se aumentar o tamanho da amostra do item anterior, O que espera-se que aconteça com as probabilidades calculadas?
© Calcule o tamanho da amostra necessária para que a media da amostra não difira da média populacional mais do que 2 ml, com probabilidade superior a 0,9.
(d) Se na linha anterior aumentar o valor da probabilidade o que acontece à dimensão da amostra?
(e) Suponha agora que
é desconhecida, e que 15 é o desvio padrão da amostra. Calcule as probabilidades pedidas na primeira pergunta.
(f) Numa amostra de 20 garrafas: (a) Qual é a probabilidade da variância amostral ser inferior a
? Qual o quantil 0,01 da variância amostral?
(a) Qual é a probabilidade de que o volume médio (i) seja no mínimo 585 ml ? (ii) esteja entre 595 e 610 ml.
(b) Se aumentar o tamanho da amostra do item anterior, O que espera-se que aconteça com as probabilidades calculadas?
© Calcule o tamanho da amostra necessária para que a media da amostra não difira da média populacional mais do que 2 ml, com probabilidade superior a 0,9.
(d) Se na linha anterior aumentar o valor da probabilidade o que acontece à dimensão da amostra?
(e) Suponha agora que
(f) Numa amostra de 20 garrafas: (a) Qual é a probabilidade da variância amostral ser inferior a
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos lidando com probabilidades relacionadas ao volume de enchimento de garrafas de cerveja em uma engarrafadora. O volume considerado normal é de 600 ml, com um desvio padrão de 15 ml. Vamos analisar uma amostra de 12 garrafas escolhidas ao acaso. Para resolver esse exercício, vamos precisar utilizar conceitos de distribuição normal, distribuição amostral da média, probabilidades e cálculo do tamanho da amostra.
Passo 2
Parte (a)(i): Qual é a probabilidade de que o volume médio seja no mínimo 585 ml?
Primeiro, queremos encontrar a probabilidade de que a média das 12 garrafas seja pelo menos 585 ml.
Sabemos que a média populacional (
) é 600 ml e o desvio padrão (
) é 15 ml. Para uma amostra de tamanho
, a distribuição amostral da média tem um desvio padrão (
) de:
Agora, queremos achar
. Para isso, vamos padronizar usando o escore Z:
A probabilidade
é equivalente a
. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, a probabilidade correspondente a
é praticamente 1 (ou 100%).
Passo 3
Parte (a)(ii): Qual é a probabilidade de que o volume médio esteja entre 595 e 610 ml?
Aqui, queremos encontrar
.
Primeiro, calculamos os escores Z para 595 ml e 610 ml:
Para 595 ml:
Para 610 ml:
Agora, buscamos as probabilidades correspondentes a esses valores de Z:
A probabilidade de estar entre 595 e 610 ml é:
Ou seja, aproximadamente 86,66%.
Passo 4
Parte (b): Se aumentar o tamanho da amostra, o que esperamos que aconteça com as probabilidades calculadas?
Quando aumentamos o tamanho da amostra (
), o desvio padrão da distribuição amostral da média (
) diminui, já que:
Com um
menor, a distribuição da média amostral fica mais concentrada em torno da média populacional. Isso significa que as probabilidades de a média amostral estar próxima da média real aumentam. Portanto, as probabilidades calculadas anteriormente (como estar acima de 585 ml ou entre 595 e 610 ml) podem se tornar mais próximas de 100% ou mais estreitas, respectivamente.
Passo 5
Parte ©: Calcule o tamanho da amostra necessária para que a média da amostra não difira da média populacional mais do que 2 ml, com probabilidade superior a 0,9.
Queremos que:
Isso significa que o intervalo de confiança para a média deve ter uma margem de erro de no máximo 2 ml com 90% de confiança.
Primeiro, identificamos o valor crítico
para 90% de confiança. Como a distribuição é simétrica, temos 5% em cada cauda, então:
A margem de erro (
) é 2 ml, então:
Resolvendo para
:
Passo 6
Parte (d): Se na linha anterior aumentar o valor da probabilidade, o que acontece à dimensão da amostra?
Se aumentarmos a probabilidade desejada (por exemplo, de 90% para 95%), o valor crítico
também aumenta. Isso implica que a margem de erro
deverá ser mantida ou reduzida para acomodar a maior confiança. Como resultado, o tamanho da amostra
precisará ser maior para garantir que a média da amostra esteja dentro do intervalo desejado com a probabilidade aumentada.
Passo 7
Parte (e): Suponha agora que
é desconhecida, e que 15 é o desvio padrão da amostra. Calcule as probabilidades pedidas na primeira pergunta.
Quando o desvio padrão da população (
) é desconhecido e usamos o desvio padrão da amostra (
), devemos utilizar a distribuição t de Student em vez da distribuição normal.
Para o item (a)(i):
Como estamos utilizando a distribuição t com
graus de liberdade, consultamos a tabela t para
. A probabilidade
é praticamente 1, similar à distribuição normal.
Para o item (a)(ii):
Calculamos os escores t para 595 ml e 610 ml:
Para 595 ml:
Para 610 ml:
Consultando a tabela t para 11 graus de liberdade:
Então:
Ou seja, aproximadamente 83,5%.
Passo 8
Parte (f): Numa amostra de 20 garrafas:
(a) Qual é a probabilidade da variância amostral ser inferior a
?
Para encontrar essa probabilidade, usamos a distribuição qui-quadrado (
). A fórmula é:
Assumindo que a variância populacional é
, e
:
Agora, queremos
com
. Consultando a tabela
, encontramos que:
(b) Qual o quantil 0,01 da variância amostral?
O quantil 0,01 da distribuição
com
é o valor tal que
. Consultando a tabela
para 19 graus de liberdade, encontramos:
Então, o quantil 0,01 é aproximadamente 8,907.
Resposta
Para uma amostra de 20 garrafas:
- A probabilidade da variância amostral ser inferior a
é aproximadamente 5%. - O quantil 0,01 da variância amostral é aproximadamente 8,907.
Resumo Final
Parte (a):
- (i) Probabilidade de média ≥ 585 ml: ~100%
- (ii) Probabilidade de média entre 595 e 610 ml: ~86,66%
Parte (b):
- Aumentar o tamanho da amostra aumenta as probabilidades calculadas.
Parte ©:
- Tamanho da amostra necessário: ~152 garrafas.
Parte (d):
- Aumentar a probabilidade desejada aumenta a dimensão da amostra.
Parte (e):
- (i) Probabilidade de média ≥ 585 ml: ~100%
- (ii) Probabilidade de média entre 595 e 610 ml: ~83,5%
Parte (f):
- (a) Probabilidade da variância amostral < 81 gr²: ~5%
- (b) Quantil 0,01 da variância amostral: ~8,907