Dissertação Descreva todas as possíveis matrizes 2 times 3 escalonadas reduzidas. Ilustre sua resposta com exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para listar todas as matrizes de tamanho 2times3 que estejam em forma escalonada reduzida (RREF).
Conteúdo: teoria de forma escada reduzida de matrizes, classificação por posto.
Precisaremos lembrar que em RREF:
  1. Cada linha nula (se houver) fica abaixo das não-nulas;
  2. O primeiro elemento não-nulo de cada linha (pivot) vale 1;
  3. Cada pivot é o único elemento não-nulo em sua coluna;
  4. Os pivots deslocam-se estritamente para a direita quando descemos as linhas.

Passo 2

Determine os possíveis postos de uma matriz 2times3. Como só há duas linhas, o posto r satisfaz 0<= r<=2.
Caso r=0: não há pivots e ambas as linhas são nulas.
0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
é a única RREF de posto zero.

Passo 3

Caso r=1: há exatamente um pivot, na primeira linha, e a segunda é nula. O pivot pode estar na coluna 1, 2 ou 3.
  • Pivot em coluna 1: a linha 1 é l[1;;a;;br] com a,binR; linha 2 nula.
    Exemplo: 1 & 2 & -1 0 & 0 & 0
  • Pivot em coluna 2: a linha 1 é l[0;;1;;cr] com cinR; linha 2 nula.
    Exemplo: 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0
  • Pivot em coluna 3: a linha 1 é l[0;;0;;1r]; linha 2 nula.
    Exemplo: 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

Passo 4

Caso r=2: há dois pivots, um em cada linha, deslocando-se para a direita. As colunas de pivots podem ser (1,2), (1,3) ou (2,3).
  • Pivots em colunas 1 e 2:
    1 & a & b 0 & 1 & c , a,b,cinR
    Exemplo: 1 & 4 & -2 0 & 1 & 5
  • Pivots em colunas 1 e 3:
    1 & d & 0 0 & 0 & 1 , dinR
    Exemplo: 1 & -3 & 0 0 & 0 & 1
  • Pivots em colunas 2 e 3:
    0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
    Exemplo (sem graus de liberdade): 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

Todas as RREFs 2times3 são, até parâmetros livres, as seguintes famílias:
  1. posto 0:
0&0&0 0&0&0
  1. posto 1:
1 & a & b 0 & 0 & 0 ,; 0 & 1 & c 0 & 0 & 0 ,; 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 , a,b,cinR
  1. posto 2:
1 & a & b 0 & 1 & c ,; 1 & d & 0 0 & 0 & 1 ,; 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , a,b,c,dinR

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