Dissertação Descreva todas as possíveis matrizes escalonadas reduzidas. Ilustre sua resposta com exemplos.
Passo 1
O enunciado pede para listar todas as matrizes de tamanho que estejam em forma escalonada reduzida (RREF).
Conteúdo: teoria de forma escada reduzida de matrizes, classificação por posto.
Precisaremos lembrar que em RREF:
Cada linha nula (se houver) fica abaixo das não-nulas;
O primeiro elemento não-nulo de cada linha (pivot) vale 1;
Cada pivot é o único elemento não-nulo em sua coluna;
Os pivots deslocam-se estritamente para a direita quando descemos as linhas.
Passo 2
Determine os possíveis postos de uma matriz . Como só há duas linhas, o posto satisfaz .
Caso : não há pivots e ambas as linhas são nulas.
é a única RREF de posto zero.
Passo 3
Caso r=1: há exatamente um pivot, na primeira linha, e a segunda é nula. O pivot pode estar na coluna 1, 2 ou 3.
Pivot em coluna 1: a linha 1 é l[1;;a;;br] com a,binR; linha 2 nula.
Exemplo: 1 & 2 & -1 0 & 0 & 0
Pivot em coluna 2: a linha 1 é l[0;;1;;cr] com cinR; linha 2 nula.
Exemplo: 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0
Pivot em coluna 3: a linha 1 é l[0;;0;;1r]; linha 2 nula.
Exemplo: 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Passo 4
Caso r=2: há dois pivots, um em cada linha, deslocando-se para a direita. As colunas de pivots podem ser (1,2), (1,3) ou (2,3).
Pivots em colunas 1 e 2: 1 & a & b 0 & 1 & c , a,b,cinR
Exemplo: 1 & 4 & -2 0 & 1 & 5
Pivots em colunas 1 e 3: 1 & d & 0 0 & 0 & 1 , dinR
Exemplo: 1 & -3 & 0 0 & 0 & 1
Pivots em colunas 2 e 3: 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Exemplo (sem graus de liberdade): 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Resposta
Todas as RREFs 2times3 são, até parâmetros livres, as seguintes famílias: