Tome . Encontre a forma escalonada reduzida da matriz .
Passo 1
O enunciado pede a forma escalonada reduzida (RREF) da matriz AinR^ntimes n cujas entradas são
aij=(i-1),n + j,
para n>=3. O conteúdo principal aqui é reconhecer que todas as linhas de A vivem num espaço de dimensão 2 e, portanto, a RREF terá exatamente 2 pivôs.
Passo 2
Mostramos que a linha de é combinação de dois vetores básicos. Defina
Então a -ésima linha de é
Isso prova que todas as linhas estão no espaço gerado por e , logo . Como e são linearmente independentes para , .
Passo 3
Para achar a RREF, basta escalonar a matriz cujas linhas são e , pois a RREF de terá exatamente as mesmas duas primeiras linhas não nulas (reordenadas) e o resto zeros.
Começamos com
Use o pivô e elimine embaixo:
Agora já temos pivô na coluna 1 (na linha 1) e na coluna 2 (na linha 2). Elimine acima do segundo pivô:
Passo 4
Como , as linhas 3 a na RREF de serão todas nulas. Portanto a forma escalonada reduzida de é obtida colocando estas duas linhas pivô no topo e zerando o resto.