Tome n >= 3. Encontre a forma escalonada reduzida da matriz n times n.
[rrrrr1 & 2 & 3 & cdots & n n+1 & n+2 & n+3 & cdots & 2 n 2 n+1 & 2 n+2 & 2 n+3 & cdots & 3 n vdots & vdots & vdots & & vdots n^2-n+1 & n^2-n+2 & n^2-n+3 & cdots & n^2]

Passo 1

O enunciado pede a forma escalonada reduzida (RREF) da matriz AinR^ntimes n cujas entradas são
aij=(i-1),n + j,
para n>=3. O conteúdo principal aqui é reconhecer que todas as linhas de A vivem num espaço de dimensão 2 e, portanto, a RREF terá exatamente 2 pivôs.

Passo 2

Mostramos que a linha de é combinação de dois vetores básicos. Defina
Então a -ésima linha de é
Isso prova que todas as linhas estão no espaço gerado por e , logo . Como e são linearmente independentes para , .

Passo 3

Para achar a RREF, basta escalonar a matriz cujas linhas são e , pois a RREF de terá exatamente as mesmas duas primeiras linhas não nulas (reordenadas) e o resto zeros.
Começamos com
  1. Use o pivô e elimine embaixo:
  1. Agora já temos pivô na coluna 1 (na linha 1) e na coluna 2 (na linha 2). Elimine acima do segundo pivô:

Passo 4

Como , as linhas 3 a na RREF de serão todas nulas. Portanto a forma escalonada reduzida de é obtida colocando estas duas linhas pivô no topo e zerando o resto.

Resposta

A RREF de A é a matriz RinR^ntimes n dada por
R= 1 & 0 & -1 & -2 & cdots & 2-n 0 & 1 & 2 & 3 & cdots & n-1 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & vdots & & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0

Exercícios relacionados