) (Dissertativa) Verifique se o vetor \vec{w}=(5,-3,7) é combinação linear dos vetores \vec{u}=(2,1,0) e \vec{v}= 1,-2,1).

Passo 1

O enunciado pede verificar se existe escalares a e b tais que
a\,(2,1,0) \;+\; b\,(1,-2,1) \;=\;(5,-3,7).
O conteúdo aqui é combinação linear de vetores em \mathbb{R}^3; vamos montar um sistema de equações para achar a e b.

Passo 2

Igualando coordenada a coordenada em
a(2,1,0) + b(1,-2,1) = (5,-3,7)
obtém-se as três equações:
2a + b = 5,
a - 2b = -3,
b = 7.

Passo 3

Da terceira equação já vem b=7. Substituindo em 2a + b = 5
2a + 7 = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2a = -2 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.

Passo 4

Com a=-1 e b=7, a segunda equação exige
a - 2b = -1 - 2\cdot7 = -15,
mas o lado direito deveria ser -3. Há, portanto, contradição, não existindo (a,b) que satisfaça todas as três equações.

Resposta

O vetor \vec w não é combinação linear de \vec u e \vec v.

Exercícios relacionados