O volume do paralelepípedo que possui um de seus vértices no ponto A(1,1,6) e os três vértices adjacentes nos pontos B(3,1,3), C(0,3,2) e D(0,2,1) é igual a:
a) 10 u.v.
b) 12 u.v.
c) 14 u.v.
d) 15 u.v.
e) 16 u.v.

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado por um vértice em A(1,1,6) e vértices adjacentes em B(3,1,3), C(0,3,2) e D(0,2,1).
Conteúdo: volume de um paralelepípedo em R^3 via produto vetorial e produto escalar (produto misto). Vamos precisar formar os vetores AB, AC e AD, calcular ACtimesAD e depois ABcdot(ACtimesAD).

Passo 2

Formamos os vetores a partir de A:
AB = B - A = (3-1,;1-1,;3-6) = (2,0,-3),
AC = C - A = (0-1,;3-1,;2-6) = (-1,2,-4),
AD = D - A = (0-1,;2-1,;1-6) = (-1,1,-5)
Esses vetores são as arestas do paralelepípedo que saem de A.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ACtimesAD para obter um vetor perpendicular ao plano formado por AC e AD:
ACtimesAD = i & j & k -1 & 2 & -4 -1 & 1 & -5 = l(2cdot(-5)-(-4)cdot1,; -1cdot(-5)-(-4)cdot(-1),; -1cdot1-2cdot(-1)r)
= (-10+4,;-5+4,;-1+2) = (-6,-1,1)

Passo 4

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto escalar entre AB e o vetor acima:
ABcdot(ACtimesAD) = (2,0,-3)cdot(-6,-1,1) = 2cdot(-6) + 0cdot(-1) + (-3)cdot1 = -12 + 0 - 3 = -15
Tomamos o valor absoluto para o volume:
V = l|ABcdot(ACtimesAD)r| = 15

Resposta

d) 15 u.v.

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