Um próton está confinado em um poço finito de largura de
. A profundidade do poço é igual a seis vezes o valor da energia do nível fundamental,
, do poço infinito correspondente. Se o próton faz uma transição do nível com energia
para o nível com energia
absorvendo um fóton, qual o comprimento de onda do fóton?
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos um próton preso em um poço quântico finito com largura de
e profundidade igual a seis vezes a energia do nível fundamental do poço infinito correspondente. Queremos descobrir o comprimento de onda do fóton que o próton absorve ao fazer uma transição do nível energético
para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica sobre níveis de energia em poços de potencial e a relação entre energia e comprimento de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula dos níveis de energia para um poço de potencial infinito. A energia dos níveis é dada por:
onde:
-
é o número quântico (1, 2, 3, …), -
é a constante de Planck reduzida, -
é a massa do próton, -
é a largura do poço.
Passo 3
No nosso caso, o poço é finito, mas a profundidade
do poço é seis vezes a energia do nível fundamental do poço infinito, ou seja,
. Isso significa que os níveis de energia no poço finito serão um pouco menores que no poço infinito, mas para simplificar, vamos assumir que as energias dos níveis são aproximadamente iguais às do poço infinito.
Passo 4
Agora, vamos calcular as energias dos níveis
e
usando a fórmula do poço infinito:
Passo 5
A diferença de energia entre os níveis
e
é a energia do fóton absorvido:
Passo 6
Sabemos que a energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda pela fórmula:
onde:
-
é a energia do fóton, -
é a constante de Planck, -
é a velocidade da luz, -
é o comprimento de onda.
Passo 7
Vamos rearranjar a equação para encontrar o comprimento de onda
:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 8
Sabendo que
, podemos simplificar a equação:
Passo 9
Agora, vamos inserir os valores numéricos:
-
(4,0 fm), -
(massa do próton), -
, -
.
Substituindo na fórmula:
Calculando:
Resposta
O comprimento de onda do fóton absorvido é aproximadamente
.