A distância entre dois lugares geométricos C1 e C2 é definida como a menor distância d(X, Y) onde X in C1 e Y in C2. Desta forma, a distância entre duas retas concorrentes é zero. No entanto, a distância entre duas retas paralelas e entre uma reta e uma circunferência podem ser não nulas.
Considere as retas r: y=2 x+1 e s: y=2 x. Escolha um ponto P de r e escreva a equação da reta perpendicular a r que passa por P . Chamemos esta reta de t. Encontre o ponto Q em que t intercepta s. A distância d(P, Q) é a distância entre as duas retas.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas paralelas
rcolon y=2x+1
e
scolon y=2x.
Para isso, escolhemos um ponto P genérico em r, traçamos a reta t perpendicular a r passando por P, encontramos Q = tcap s e, por fim, calculamos d(P,Q).

Passo 2

Seja um ponto genérico de r:
P = (x0,;2x0 + 1)
Como o coeficiente angular de r é 2, o da perpendicular é
mt = -12
Logo, a reta t em forma ponto-inclinação é
y - (2x0+1) = -12,(x - x0)

Passo 3

Para achar Q, substituímos y=2x na equação de t:
2x = 2x0 + 1 - 12,(x - x0)
Multiplicando por 2:
4x = 4x0 + 2 - (x - x0)
Reorganizando:
4x = 5x0 + 2 - x
Logo
5x = 5x0 + 2
Daí
xQ = x0 + 25,
e
yQ = 2xQ = 2x0 + 45
Portanto
Q = l(x0 + 25,;2x0 + 45r)

Passo 4

Calculamos
d(P,Q) = raiz(xQ - x0)^2 + (yQ - (2x0+1))^2
Temos
xQ - x0 = 25, yQ - (2x0+1) = l(2x0 + tfrac45r) - (2x0+1) = -15
Logo
d(P,Q) = raizl(25r)^2 + l(-15r)^2 = raiz425 + 125 = raiz525 = 1raiz5

Resposta

A distância entre r e s é 1raiz5.

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