A distância entre dois lugares geométricos C1 e C2 é definida como a menor distância d(X, Y) onde X in C1 e Y in C2. Desta forma, a distância entre duas retas concorrentes é zero. No entanto, a distância entre duas retas paralelas e entre uma reta e uma circunferência podem ser não nulas.
Considere a circunferência (x-2)^2+(y-2)^2=1 e a reta y=x+2. Calcule a distância entre a circunferência e a reta. Sugestão: calcule a distância entre o centro da circunferência e a reta, depois subtraia o valor do raio.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre a circunferência
(x-2)^2+(y-2)^2=1
de centro C=(2,2) e raio r=1, e a reta
y = x + 2
Para isso, usamos a definição: a distância entre circunferência e reta é
dist(C,reta) - r,
onde dist(C,reta) é a distância do centro à reta.

Passo 2

Escrevemos a reta em forma ax+by+c=0. De y = x+2 obtemos
x - y + 2 = 0,
logo a=1, b=-1, c=2. A fórmula da distância de (x0,y0) à reta é
d = l|a x0 + b y0 + cr|raiza^2+b^2
Aqui (x0,y0)=(2,2).

Passo 3

Calculando
d = l|1cdot 2 + (-1)cdot 2 + 2r|raiz1^2+(-1)^2 = lvert 2 - 2 + 2rvertraiz2 = 2raiz2 = raiz2
A distância procurada é então
raiz2 - r = raiz2 - 1

Resposta

raiz2 - 1

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