Quais os pontos de intersecção da elipse x^29+y^24=1 com a circunferência x^2+y^2=4 ? Qual o número possível de pontos de intersecção de uma elipse com uma circunferência? Enuncie todos os casos.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção entre a elipse
x^29+y^24=1
e a circunferência
x^2+y^2=4
O conteúdo é sistema de equações não lineares de segundo grau. Vamos usar substituição de uma equação na outra para encontrar x e y.

Passo 2

Da circunferência temos
x^2+y^2=4 Longrightarrow x^2=4-y^2
Substituindo na elipse:
4-y^29+y^24=1
Multiplicando por 36 para eliminar denominadores:
4,(4-y^2)+9,y^2=36 Longrightarrow 16-4y^2+9y^2=36 Longrightarrow 5y^2=20 Longrightarrow y^2=4
Logo y=pm2. Substituindo em x^2=4-y^2
x^2=4-4=0 Longrightarrow x=0
Portanto há dois pontos de interseção: (0,2) e (0,-2).

Passo 3

Para saber quantos pontos de interseção uma elipse e um círculo podem ter em geral, lembramos que ambas são cônicas de grau 2.
Pelo Teorema de Bézout, duas cônicas distintas intersectam-se em até quatro pontos (contando multiplicidades e no plano complexo). No plano real e contando pontos distintos, podem ocorrer:
  • 0 pontos, se estiverem disjuntas.
  • 1 ponto, se forem tangentes (externa ou internamente).
  • 2 pontos, em duas interseções simples ou dois pontos de tangência distintos.
  • 3 pontos, quando há um ponto de tangência (multiplicidade 2) e mais duas interseções simples.
  • 4 pontos, em quatro interseções simples.
    Além disso, no caso degenerado em que a elipse é um círculo idêntico à circunferência, o número de interseções é infinito (elas coincidem).

Resposta

Os pontos de interseção são
(0,2) e (0,-2).
Os números possíveis de pontos de interseção entre uma elipse e uma circunferência são
  • 0 (disjuntas),
  • 1 (tangência),
  • 2,
  • 3,
  • 4,
  • e, em caso degenerado de coincidência (elipse = círculo), infinito.

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