Quais os pontos de intersecção da elipse
com a circunferência
? Qual o número possível de pontos de intersecção de uma elipse com uma circunferência? Enuncie todos os casos.
Passo 1
O enunciado pede os pontos de interseção entre a elipse
e a circunferência
O conteúdo é sistema de equações não lineares de segundo grau. Vamos usar substituição de uma equação na outra para encontrar
e
.
Passo 2
Da circunferência temos
Substituindo na elipse:
Multiplicando por
para eliminar denominadores:
Logo
. Substituindo em
dá
Portanto há dois pontos de interseção:
e
.
Passo 3
Para saber quantos pontos de interseção uma elipse e um círculo podem ter em geral, lembramos que ambas são cônicas de grau
.
Pelo Teorema de Bézout, duas cônicas distintas intersectam-se em até quatro pontos (contando multiplicidades e no plano complexo). No plano real e contando pontos distintos, podem ocorrer:
Pelo Teorema de Bézout, duas cônicas distintas intersectam-se em até quatro pontos (contando multiplicidades e no plano complexo). No plano real e contando pontos distintos, podem ocorrer:
-
pontos, se estiverem disjuntas. -
ponto, se forem tangentes (externa ou internamente). -
pontos, em duas interseções simples ou dois pontos de tangência distintos. -
pontos, quando há um ponto de tangência (multiplicidade ) e mais duas interseções simples. -
pontos, em quatro interseções simples.
Além disso, no caso degenerado em que a elipse é um círculo idêntico à circunferência, o número de interseções é infinito (elas coincidem).
Resposta
Os pontos de interseção são
e
.
Os números possíveis de pontos de interseção entre uma elipse e uma circunferência são
-
(disjuntas), -
(tangência), -
, -
, -
, - e, em caso degenerado de coincidência (elipse
círculo), infinito.