A distância entre dois lugares geométricos e é definida como a menor distância onde e . Desta forma, a distância entre duas retas concorrentes é zero. No entanto, a distância entre duas retas paralelas e entre uma reta e uma circunferência podem ser não nulas.
Considerando duas retas paralelas genéricas, e , prove que a distância entre as retas é dada por .
Passo 1
O enunciado pede a distância mínima entre duas retas paralelas
e
sabendo que, em geral, a distância entre dois conjuntos é
O conteúdo utilizado será geometria analítica: transformação para a forma e fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Lembremos que a distância de um ponto à reta é dada por
Passo 3
Escrevemos a segunda reta na forma a x + b y + c = 0. A reta
y = m x + b2
é equivalente a
m x - y + b2 = 0,
ou seja, a = m, b = -1 e c = b2.
Passo 4
Escolhemos um ponto genérico da primeira reta, por exemplo
P = (0,,b1),
que satisfaz y = mcdot 0 + b1. Aplicando a fórmula da distância ao ponto P e à reta m x - y + b2=0, temos