A distância entre dois lugares geométricos C1 e C2 é definida como a menor distância d(X, Y) onde X in C1 e Y in C2. Desta forma, a distância entre duas retas concorrentes é zero. No entanto, a distância entre duas retas paralelas e entre uma reta e uma circunferência podem ser não nulas.
Considerando duas retas paralelas genéricas, y=m x+b1 e y=m x+b2, prove que a distância entre as retas é dada por |b1-b2|raiz1+m^2.

Passo 1

O enunciado pede a distância mínima entre duas retas paralelas
y = m x + b1
e
y = m x + b2,
sabendo que, em geral, a distância entre dois conjuntos é
infXin C1,,Yin C2 d(X,Y)
O conteúdo utilizado será geometria analítica: transformação para a forma ax+by+c=0 e fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Lembremos que a distância de um ponto P=(x0,y0) à reta a x + b y + c = 0 é dada por
dl(P,retar) = l|a x0 + b y0 + cr|raiza^2+b^2

Passo 3

Escrevemos a segunda reta na forma a x + b y + c = 0. A reta
y = m x + b2
é equivalente a
m x - y + b2 = 0,
ou seja, a = m, b = -1 e c = b2.

Passo 4

Escolhemos um ponto genérico da primeira reta, por exemplo
P = (0,,b1),
que satisfaz y = mcdot 0 + b1. Aplicando a fórmula da distância ao ponto P e à reta m x - y + b2=0, temos
dl(P,reta2r) = l|mcdot 0 - 1cdot b1 + b2r|raizm^2+(-1)^2 = l|b2-b1r|raizm^2+1

Passo 5

Como as retas são paralelas, a distância de qualquer ponto da primeira reta à segunda é a mesma. Portanto o ínfimo coincide com esse valor constante.

Resposta

l|b1-b2r|raiz1+m^2

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