Sejam A, B, C e X matrices quadradas da mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações. Dando X em função de A, B e C.
A X^-1=C A

Passo 1

Temos matrizes quadradas e invertíveis A, B, C e X (embora B não apareça na equação). A equação a resolver é
A,X^-1 ;=; C,A
O que precisamos usar são as propriedades de inversão e multiplicação de matrizes para “desatar” o X^-1.

Passo 2

Começamos multiplicando ambos os lados por A^-1 à esquerda. Assim, usando associatividade,
A^-1,(A,X^-1) ;=; A^-1,(C,A) Longrightarrow X^-1 ;=; A^-1,C,A

Passo 3

Agora que isolamos X^-1, basta inverter essa igualdade para achar X. Invertemos cada lado:
X ;=;l(A^-1,C,Ar)^-1

Passo 4

Para inverter o produto A^-1,C,A, usamos
(MNP)^-1 = P^-1N^-1M^-1
com M=A^-1, N=C e P=A. Logo,
l(A^-1,C,Ar)^-1 = A^-1,C^-1,(A^-1)^-1 = A^-1,C^-1,A

Resposta

X ;=; A^-1,C^-1,A

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