Sejam A, B, C e X matrices quadradas da mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações. Dando X em função de A, B e C.
A X^t B=A B-I, calcule X, sendo A=[ll2 & 5 2 & 4], B=[ll-1 & 1 -1 & 2].

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
A,X^t,B = A,B - I,
onde A, B e X são matrizes quadradas invertíveis. O objetivo é isolar X em função de A e B. Para isso vamos usar propriedades de inversa de matrizes e de transposta.

Passo 2

Multiplicamos à esquerda por A^-1 e à direita por B^-1, obtendo
X^t = A^-1,(A,B - I),B^-1
Em seguida aplicamos transposta em ambos os lados para isolar X:
X = l(A^-1,(A,B - I),B^-1r)^t = (B^-1)^t,(A,B - I)^t,(A^-1)^t

Passo 3

Como (A,B - I)^t = B^t,A^t - I e (M^-1)^t = (M^t)^-1, podemos escrever
X = (B^t)^-1,l(B^t,A^t - Ir),(A^t)^-1
Mas é mais direto usar a forma
X = l(A^-1,(A,B - I),B^-1r)^t
e calcular numericamente.

Passo 4

Calculamos as inversas de A e B.
Para
A = 2 & 5 2 & 4,
det(A) = 2cdot4 - 5cdot2 = -2,
A^-1 = 1-2 4 & -5 -2 & 2 = -2 & tfrac52 [6pt]1 & -1
Para
B = -1 & 1 -1 & 2,
det(B) = (-1)cdot2 - 1cdot(-1) = -1,
B^-1 = 1-1 2 & -1 1 & -1 = -2 & 1 [4pt]-1 & 1 ]

Passo 5

Calculamos primeiro A,B e depois subtraímos I:
A,B = 2 & 5 2 & 4 -1 & 1 -1 & 2 = -7 & 12 -6 & 10, A,B - I = -8 & 12 -6 & 9

Passo 6

Agora montamos
M = A^-1,(A,B - I),B^-1 = -2 & tfrac52 [4pt]1 & -1 -8 & 12 [2pt]-6 & 9 -2 & 1 [2pt]-1 & 1
Primeiro
A^-1(A,B - I) = 1 & -tfrac32 [4pt]-2 & 3,
depois
M = 1 & -tfrac32 [4pt]-2 & 3 -2 & 1 [2pt]-1 & 1 = -tfrac12 & -tfrac12 [4pt]1 & 1
Então M = X^t.]

Passo 7

Como M = X^t, fazemos a transposta para encontrar X:
X = M^t = -tfrac12 & 1 [4pt]-tfrac12 & 1 ]

Resposta

X = -tfrac12 & 1 [4pt]-tfrac12 & 1 ]

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