1. Tem-se um viscosímetro rotatório que consta basicamente de dois cilindros coaxiais onde o óleo de ensaio é colocado entre eles. É necessário um torque de 2 \mathrm{~N} . \mathrm{m} para fazer o cilindro interno girar a 30 rpm . Os cilindros possuem 0,457 \mathrm{~m} de comprimento e a folga entre eles é de 0,30 \mathrm{~cm}. Desprezando os efeitos de borda, demonstre que:
    a) A tensão cisalhante é dada por ( \tau=0,697 / \mathrm{r} 2 );
    b) Calcule a viscosidade do óleo de ensaio em “Pa.s” supondo-o Newtoniano e ri =0,15 \mathrm{~m}. Resp:0,2 Pa.s.

Passo 1

O enunciado descreve um viscometro de cilindros concêntricos em que um óleo Newtoniano fica preso entre um cilindro interno de raio r_i e um cilindro externo de raio r_o=r_i+\delta. Sabe-se que, para girar o cilindro interno a 30 rpm, é preciso um torque M=2\\ \mathrm{N\cdot m}. O comprimento dos cilindros é L=0,457\\ \mathrm{m} e a folga é \delta=0,30\\ \mathrm{cm}=0,003\\ \mathrm{m}. Vamos usar o equilíbrio de torque para obter a tensão de cisalhamento como função de r e depois relacionar essa tensão ao gradiente de velocidade para achar a viscosidade.

Passo 2

Em regime permanente, o torque transmitido por qualquer camada entre raios r e r+\mathrm{d}r é constante e deve satisfazer
M =\int_{r_i}^{r_o}\tau(r)\cdot\bigl(\text{área de cisalhamento}\bigr)\cdot r\;\mathrm{d}r =\int_{r_i}^{r_o}\tau(r)\,\bigl(2\pi rL\bigr)\,r\;\mathrm{d}r =\int_{r_i}^{r_o}2\pi L\,r^2\,\tau(r)\,\mathrm{d}r.á
Como M não depende de r, o integrando deve ser constante, logo
2\pi L\,r^2\,\tau(r)=M \quad\Longrightarrow\quad \tau(r)=\frac{M}{2\pi L\,r^2}.

Passo 3

Substituindo M=2\\ \mathrm{N\cdot m} e L=0,457\\ \mathrm{m} obtemos
\frac{M}{2\pi L} =\frac{2}{2\pi\cdot0,457} \approx0{,}697,
portanto
\tau(r)=\frac{0{,}697}{r^2},
o que demonstra a expressão pedida.

Passo 4

Para um fluido Newtoniano,
\tau(r)=\mu\,\dot\gamma(r),
onde \dot\gamma é a taxa de cisalhamento. Como a folga \delta é pequena, aproximamos o perfil de velocidade entre cilindros por um escoamento de cisalhamento simples:
\dot\gamma\Big|_{r_i} \approx\frac{\Delta v}{\delta} =\frac{v(r_i)-v(r_o)}{\delta} =\frac{\omega\,r_i-0}{\delta} =\frac{\omega\,r_i}{\delta}.
Aqui \omega é a velocidade angular do cilindro interno:
\omega =30\\ \mathrm{rpm}\times\frac{2\pi}{60} =\pi\\ \mathrm{rad/s}.
No raio interno, a tensão é
\tau(r_i) =\frac{0{,}697}{r_i^2} =\frac{0{,}697}{(0{,}15)^2} \approx30{,}98\\ \mathrm{Pa}.
Logo a viscosidade é
\mu =\frac{\tau(r_i)}{\dot\gamma(r_i)} =\frac{30{,}98}{(\pi\cdot0{,}15)/0{,}003} =\frac{30{,}98}{157{,}08} \approx0{,}197\\ \mathrm{Pa\cdot s},
o que, arredondando, dá \mu\approx0,2\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Resposta

a) \displaystyle \tau(r)=\frac{0,697}{r^2}.
b) \displaystyle \mu\approx0,2\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

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