Tem-se um viscosímetro rotatório que consta basicamente de dois cilindros coaxiais onde o óleo de ensaio é colocado entre eles. É necessário um torque de 2 \mathrm{~N} . \mathrm{m} para fazer o cilindro interno girar a 30 rpm . Os cilindros possuem 0,457 \mathrm{~m} de comprimento e a folga entre eles é de 0,30 \mathrm{~cm}. Desprezando os efeitos de borda, demonstre que:
a) A tensão cisalhante é dada por ( \tau=0,697 / \mathrm{r} 2 );
b) Calcule a viscosidade do óleo de ensaio em “Pa.s” supondo-o Newtoniano e ri =0,15 \mathrm{~m}. Resp:0,2 Pa.s.
Passo 1
O enunciado descreve um viscometro de cilindros concêntricos em que um óleo Newtoniano fica preso entre um cilindro interno de raio r_i e um cilindro externo de raio r_o=r_i+\delta. Sabe-se que, para girar o cilindro interno a 30 rpm, é preciso um torque M=2\\ \mathrm{N\cdot m}. O comprimento dos cilindros é L=0,457\\ \mathrm{m} e a folga é \delta=0,30\\ \mathrm{cm}=0,003\\ \mathrm{m}. Vamos usar o equilíbrio de torque para obter a tensão de cisalhamento como função de r e depois relacionar essa tensão ao gradiente de velocidade para achar a viscosidade.
Passo 2
Em regime permanente, o torque transmitido por qualquer camada entre raios r e r+\mathrm{d}r é constante e deve satisfazer
M =\int_{r_i}^{r_o}\tau(r)\cdot\bigl(\text{área de cisalhamento}\bigr)\cdot r\;\mathrm{d}r =\int_{r_i}^{r_o}\tau(r)\,\bigl(2\pi rL\bigr)\,r\;\mathrm{d}r =\int_{r_i}^{r_o}2\pi L\,r^2\,\tau(r)\,\mathrm{d}r.
Como M não depende de r, o integrando deve ser constante, logo
onde \dot\gamma é a taxa de cisalhamento. Como a folga \delta é pequena, aproximamos o perfil de velocidade entre cilindros por um escoamento de cisalhamento simples: