Utilizando-se um espelho esférico cõncavo, pro-jeta-se sobre uma parede a imagem de uma vela aumentada quatro vezes. A vela está a 3 m da parede. Determine a distäncia focal do espelho.

Passo 1

O enunciado diz que com um espelho esférico côncavo se projeta na parede (tela) a imagem de uma vela com aumento linear quatro vezes. A vela (objeto) está a 3\\ \mathrm{m} da parede. O conteúdo envolve distâncias do objeto ( p) e da imagem ( q), a relação de ampliação e a equação dos espelhos esféricos.

Passo 2

Como o objeto (vela) e a parede (onde se forma a imagem) estão separados por 3\\ \mathrm{m}, temos a soma das distâncias do objeto ao espelho e do espelho à imagem igual a 3\\ \mathrm{m}. Ou seja,
p + q = 3\\ \mathrm{m}.

Passo 3

O aumento linear m para espelhos esféricos reais vale
m = \frac{q}{p}.
Como a imagem é quatro vezes maior que o objeto, \displaystyle m=4, logo
\frac{q}{p} = 4 \quad\Longrightarrow\quad q = 4p.

Passo 4

Substituindo q=4p em p+q=3, obtemos
p + 4p = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5p = 3 \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{3}{5} = 0{,}6\\ \mathrm{m}.
Logo
q = 4p = 4 \times 0{,}6 = 2{,}4\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Usamos a equação dos espelhos esféricos:
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}.
Substituindo p=0{,}6\\ \mathrm{m} e q=2{,}4\\ \mathrm{m},
\frac{1}{0{,}6} + \frac{1}{2{,}4} = 1{,}6667 + 0{,}4167 = 2{,}0834 \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{1}{2{,}0834}\approx 0{,}48\\ \mathrm{m}.

Resposta

A distância focal do espelho é 0{,}48\\ \mathrm{m}.

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