A distância horizontal percorrida por uma bola de futebol depende, entre outros fatores, da velocidade inicial do ângulo formado pela trajetória da bola com a horizontal. Representando a velocidade inicial por v e o ângulo por \alpha, podemos determinar essa distância d pela equação:
d=\frac{v^{2}}{10} \cdot \operatorname{sen} 2 \alpha
Sabendo que em certo chute a bola percorreu 16,2 \mathrm{~m} com velocidade de 18 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é a medida do ângulo \alpha ?

Passo 1

O enunciado dá a fórmula da distância horizontal percorrida pela bola:
d=\frac{v^{2}}{10}\cdot \sin 2\alpha
e informa os valores numéricos obtidos no chute:
d = 16,2,\quad v = 18.
A pergunta é: qual é a medida do ângulo \alpha que produziu esse alcance?
Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
d=16,2,\qquad v=18,\qquad d=\frac{v^{2}}{10}\sin 2\alpha.
Não vamos resolver ainda, apenas registrei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Substituímos os valores de d e v na fórmula para obter uma equação envolvendo apenas \alpha. Escrevo a igualdade colocando os números:
16,2=\frac{18^{2}}{10}\sin 2\alpha.
Aqui eu só troquei d e v pelos valores numéricos fornecidos.

Passo 3

Calculo 18^{2} e então \dfrac{18^{2}}{10}. Primeiro,
18^{2}=324.
Dividindo por 10,
\frac{18^{2}}{10}=\frac{324}{10}=32,4.
Assim a equação do Passo 2 fica mais simples:
16,2=32,4\sin 2\alpha.

Passo 4

Isolo \sin 2\alpha dividindo ambos os lados por 32,4:
\sin 2\alpha=\frac{16,2}{32,4}.
Faço a divisão: \dfrac{16,2}{32,4}=0,5. Logo
\sin 2\alpha = 0,5.

Passo 5

Agora precisamos encontrar todos os ângulos 2\alpha tais que \sin 2\alpha=0,5. Explico como pensar nisso:
  • A função seno assume o valor 0,5 em ângulos conhecidos na trigonometria: \sin 30^\circ=0,5, isto é, \sin\! \left(30^\circ\right)=0,5.
  • O seno tem o mesmo valor para um ângulo e para o seu suplemento: \sin \theta = \sin(180^\circ-\theta). Portanto, além de 30^\circ, o ângulo 150^\circ também dá seno 0,5 porque \sin 150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=0,5.
  • Como \sin é periódica com período 360^\circ, as soluções gerais seriam 2\alpha=30^\circ+360^\circ k ou 2\alpha=150^\circ+360^\circ k para inteiro k. Mas, fisicamente para lançamento, \alpha está entre 0^\circ e 90^\circ, então 2\alpha está entre 0^\circ e 180^\circ. Assim tomamos apenas as soluções no intervalo [0^\circ,180^\circ]: 2\alpha=30^\circ ou 2\alpha=150^\circ.

Passo 6

Divido as duas possibilidades por 2 para obter \alpha:
  • Se 2\alpha=30^\circ, então
\alpha = \frac{30^\circ}{2}=15^\circ.
  • Se 2\alpha=150^\circ, então
\alpha = \frac{150^\circ}{2}=75^\circ.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida:
  • Ambas as soluções fazem sentido fisicamente: para projéteis sem resistência do ar, ângulos complementares (aqui 15^\circ e 75^\circ) dão o mesmo alcance. Note que 15^\circ+75^\circ=90^\circ.
  • Podemos verificar numericamente: para \alpha=15^\circ, 2\alpha=30^\circ e \sin 30^\circ=0,5, então d=32,4\cdot 0,5=16,2. Mesmo para \alpha=75^\circ, 2\alpha=150^\circ e \sin 150^\circ=0,5, produzindo o mesmo d.

Resposta

\alpha=15^\circ
\alpha=75^\circ

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