A distância horizontal percorrida por uma bola de futebol depende, entre outros fatores, da velocidade inicial do ângulo formado pela trajetória da bola com a horizontal. Representando a velocidade inicial por v e o ângulo por
, podemos determinar essa distância d pela equação:
Sabendo que em certo chute a bola percorreu
com velocidade de
, qual é a medida do ângulo
?
Sabendo que em certo chute a bola percorreu
Passo 1
O enunciado dá a fórmula da distância horizontal percorrida pela bola:
e informa os valores numéricos obtidos no chute:
A pergunta é: qual é a medida do ângulo
que produziu esse alcance?
Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
Não vamos resolver ainda, apenas registrei o que é pedido e o que foi dado.
Passo 2
Substituímos os valores de
e
na fórmula para obter uma equação envolvendo apenas
. Escrevo a igualdade colocando os números:
Aqui eu só troquei
e
pelos valores numéricos fornecidos.
Passo 3
Calculo
e então
. Primeiro,
Dividindo por
,
Assim a equação do Passo 2 fica mais simples:
Passo 4
Isolo
dividindo ambos os lados por
:
Faço a divisão:
. Logo
Passo 5
Agora precisamos encontrar todos os ângulos
tais que
. Explico como pensar nisso:
- A função seno assume o valor
em ângulos conhecidos na trigonometria: , isto é, . - O seno tem o mesmo valor para um ângulo e para o seu suplemento:
. Portanto, além de , o ângulo também dá seno porque . - Como
é periódica com período , as soluções gerais seriam ou para inteiro . Mas, fisicamente para lançamento, está entre e , então está entre e . Assim tomamos apenas as soluções no intervalo : ou .
Passo 6
Divido as duas possibilidades por
para obter
:
- Se
, então
- Se
, então
Passo 7
Interpretação e checagem rápida:
- Ambas as soluções fazem sentido fisicamente: para projéteis sem resistência do ar, ângulos complementares (aqui
e ) dão o mesmo alcance. Note que . - Podemos verificar numericamente: para
, e , então . Mesmo para , e , produzindo o mesmo .