A equação h(t)=3 \operatorname{sen}\left(\frac{5 \pi}{31} t\right) permite calcular uma aproximação da altura h (em metros) da maré de determinada laguna (lagoa de água salgada ligada ao mar por um canal) em função do tempo t , e horas.
a) Qual é a altura da maré às 2 h ? E às 16 h ?
b) Qual é o menos valor de t, em horas e minutos, em que a maré está com 1,5 \mathrm{~m} de altura?

Passo 1

O enunciado dá a função que aproxima a altura da maré em função do tempo:
h(t)=3\operatorname{sen}\!\left(\frac{5\pi}{31}t\right),
onde h(t) está em metros e t em horas. As perguntas são:
  1. Qual é a altura da maré às 2 h?
  2. Qual é a altura da maré às 16 h?
  3. Qual é o menor valor de t, em horas e minutos, em que a maré vale 1,5 m?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
h(t)=3\operatorname{sen}\!\left(\frac{5\pi}{31}t\right).
Aqui temos amplitude 3 (a maré varia entre -3 m e +3 m) e uma frequência angular \omega=\frac{5\pi}{31} (unidade: rad/h). Não há outras condições iniciais dadas, então usaremos essa fórmula para calcular os valores pedidos.

Passo 2

Pequena aula prática sobre funções do tipo A\operatorname{sen}(\omega t) — o que cada coisa significa e como usar:
  • A é a amplitude: o valor máximo absoluto que a função atinge. Aqui A=3, então a maré oscila entre -3 m e +3 m.
  • \omega é a frequência angular (em radianos por hora). A relação entre \omega e o período T (o tempo para a maré completar um ciclo) é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Aplicando ao nosso caso:
\omega=\frac{5\pi}{31}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{2\pi}{5\pi/31}=\frac{2\pi\cdot 31}{5\pi}=\frac{62}{5}=12{,}4\\ \text{h}.
Ou seja, a maré completa um ciclo a cada 12{,}4 horas (12 horas e 24 minutos). Isso ajuda a entender a repetição, mas para calcular alturas em instantes específicos usamos diretamente a fórmula h(t).

Passo 3

Resolver (a) — calcular h(2).
Escrevemos a expressão:
h(2)=3\operatorname{sen}\!\left(\frac{5\pi}{31}\cdot 2\right)=3\operatorname{sen}\!\left(\frac{10\pi}{31}\right).
Para avaliar \operatorname{sen}\!\left(\frac{10\pi}{31}\right) podemos passar para graus para ter sensação do ângulo:
\frac{10\pi}{31}\\ \text{rad} = \frac{10\pi}{31}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{1800}{31}^\circ \approx 58{,}0645^\circ.
Sabendo que \operatorname{sen}(58^\circ)\approx 0{,}8480 e ajustando para 58{,}0645^\circ (pequena correção), obtemos
\operatorname{sen}\!\left(\frac{10\pi}{31}\right)\approx 0{,}848644,
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h(2)=3\cdot 0{,}848644\approx 2{,}54593\\ \mathrm{m}.
Arredondando a três casas decimais: h(2)\approx 2{,}546\\ \mathrm{m}.
Obs.: para ângulos que não são ângulos “notáveis” (30°, 45°, 60° etc.) é normal usar calculadora/ tabela trigonométrica. Aqui apresentei o valor aproximado com justificativa de conversão para graus e comparação com valores conhecidos.

Passo 4

Resolver (a) — calcular h(16).
Escrevemos:
h(16)=3\operatorname{sen}\!\left(\frac{5\pi}{31}\cdot 16\right)=3\operatorname{sen}\!\left(\frac{80\pi}{31}\right).
É conveniente reduzir o ângulo modulo 2\pi (ou 360°) para achar uma referência fácil. Em graus:
\frac{80\pi}{31}\\ \text{rad} = \frac{80\pi}{31}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{14400}{31}^\circ \approx 464{,}5161^\circ.
Subtraindo 360^\circ obtemos o ângulo coterminal:
464{,}5161^\circ-360^\circ=104{,}5161^\circ.
Então
\operatorname{sen}\!\left(\frac{80\pi}{31}\right)=\operatorname{sen}(104{,}5161^\circ).
Usamos a identidade \operatorname{sen}(\theta)=\operatorname{sen}(180^\circ-\theta) para ligar a um ângulo agudo:
\operatorname{sen}(104{,}5161^\circ)=\operatorname{sen}(180^\circ-104{,}5161^\circ)=\operatorname{sen}(75{,}4839^\circ)\approx 0{,}968110.
Portanto
h(16)=3\cdot 0{,}968110\approx 2{,}90433\\ \mathrm{m},
ou seja, arredondando: h(16)\approx 2{,}904\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Resolver (b) — encontrar o menor t\ge 0 tal que h(t)=1{,}5\\ \mathrm{m}.
Começamos substituindo na fórmula:
3\operatorname{sen}\!\left(\frac{5\pi}{31}t\right)=1{,}5.
Dividindo por 3:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{5\pi}{31}t\right)=\frac{1{,}5}{3}=0{,}5.
Agora usamos a solução geral da equação \operatorname{sen} x = a. Se a está entre -1 e 1, então as soluções de \operatorname{sen} x = a são
x = \arcsin(a) + 2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\pi-\arcsin(a)+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
No nosso caso a=0{,}5. Sabemos que \arcsin(0{,}5)=\frac{\pi}{6} (porque \operatorname{sen}(\pi/6)=1/2). Logo as soluções para o argumento são
\frac{5\pi}{31}t = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\quad\text{ou}\quad \frac{5\pi}{31}t = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Isolando t:
t = \frac{31}{5\pi}\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)=\frac{31}{30}+ \frac{31}{5\pi}\cdot 2k\pi
ou
t = \frac{31}{5\pi}\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)=\frac{31}{6}+ \frac{31}{5\pi}\cdot 2k\pi.
Simplificando as partes constantes (caso k=0):
t_1=\frac{31}{30}=1+\frac{1}{30}\\ \text{h}=1\\ \text{h }+\frac{1}{30}\cdot 60\\ \text{min}=1\\ \text{h }2\\ \text{min},
t_2=\frac{31}{6}=5+\frac{1}{6}\\ \text{h}=5\\ \text{h }10\\ \text{min}.
Para k<0 a segunda parcela \frac{31}{5\pi}\cdot 2k\pi é negativa e torna t negativo para k=-1 (portanto descartamos tempos negativos). Assim os menores tempos não negativos que satisfazem a equação são t_1=\frac{31}{30} h e t_2=\frac{31}{6} h; o menor é t_1.

Resposta

h(2)=3\operatorname{sen}\!\left(\frac{10\pi}{31}\right)\approx 2{,}546\\ \mathrm{m}
h(16)=3\operatorname{sen}\!\left(\frac{80\pi}{31}\right)\approx 2{,}904\\ \mathrm{m}
t_{\min}=1\\ \text{h }2\\ \text{min}

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