A equação
permite calcular uma aproximação da altura h (em metros) da maré de determinada laguna (lagoa de água salgada ligada ao mar por um canal) em função do tempo t , e horas.
a) Qual é a altura da maré às 2 h ? E às 16 h ?
b) Qual é o menos valor de t, em horas e minutos, em que a maré está com
de altura?
a) Qual é a altura da maré às 2 h ? E às 16 h ?
b) Qual é o menos valor de t, em horas e minutos, em que a maré está com
Passo 1
O enunciado dá a função que aproxima a altura da maré em função do tempo:
onde
está em metros e
em horas. As perguntas são:
- Qual é a altura da maré às
h? - Qual é a altura da maré às
h? - Qual é o menor valor de
, em horas e minutos, em que a maré vale m?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Aqui temos amplitude
(a maré varia entre
m e
m) e uma frequência angular
(unidade: rad/h). Não há outras condições iniciais dadas, então usaremos essa fórmula para calcular os valores pedidos.
Passo 2
Pequena aula prática sobre funções do tipo
— o que cada coisa significa e como usar:
-
é a amplitude: o valor máximo absoluto que a função atinge. Aqui , então a maré oscila entre m e m. -
é a frequência angular (em radianos por hora). A relação entre e o período (o tempo para a maré completar um ciclo) é
Aplicando ao nosso caso:
Ou seja, a maré completa um ciclo a cada
horas (12 horas e 24 minutos). Isso ajuda a entender a repetição, mas para calcular alturas em instantes específicos usamos diretamente a fórmula
.
Passo 3
Resolver (a) — calcular
.
Escrevemos a expressão:
Para avaliar
podemos passar para graus para ter sensação do ângulo:
Sabendo que
e ajustando para
(pequena correção), obtemos
logo
Arredondando a três casas decimais:
.
Obs.: para ângulos que não são ângulos “notáveis” (30°, 45°, 60° etc.) é normal usar calculadora/ tabela trigonométrica. Aqui apresentei o valor aproximado com justificativa de conversão para graus e comparação com valores conhecidos.
Passo 4
Resolver (a) — calcular
.
Escrevemos:
É conveniente reduzir o ângulo modulo
(ou 360°) para achar uma referência fácil. Em graus:
Subtraindo
obtemos o ângulo coterminal:
Então
Usamos a identidade
para ligar a um ângulo agudo:
Portanto
ou seja, arredondando:
.
Passo 5
Resolver (b) — encontrar o menor
tal que
.
Começamos substituindo na fórmula:
Dividindo por
:
Agora usamos a solução geral da equação
. Se
está entre
e
, então as soluções de
são
No nosso caso
. Sabemos que
(porque
). Logo as soluções para o argumento são
Isolando
:
ou
Simplificando as partes constantes (caso
):
Para
a segunda parcela
é negativa e torna
negativo para
(portanto descartamos tempos negativos). Assim os menores tempos não negativos que satisfazem a equação são
h e
h; o menor é
.