(UNIRIO) Consideremos um ponto de luz no chão a 12 m de um edifício. Numa posição entre a luz e o edifício, encontra-se um homem de
de altura, cuja sombra projetada no edifício, pela mesma luz, mede 8 m . Diante do exposto, calcule a distância entre o homem e o edifício.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Há um ponto de luz no chão a
de um edifício. - Um homem de
de altura está entre a luz e o edifício. - A sombra projetada do homem sobre o edifício (isto é, a altura do ponto iluminado no edifício correspondente ao topo da cabeça do homem) mede
. - Pergunta: qual é a distância entre o homem e o edifício? (ou seja, quantos metros separam o homem da parede do edifício)
Passo 2
Vamos traduzir a situação para uma figura mental e definir uma variável.
- Seja
a distância entre o homem e o edifício. Esse é o que queremos achar. - Como a luz está a
do edifício, a distância da luz até o homem é . - Considere a reta que liga a fonte de luz ao topo da cabeça do homem e que é prolongada até cortar o edifício no ponto que determina a sombra de altura
. - Isso gera dois triângulos retângulos semelhantes: o menor formado pela fonte de luz, pelo pé do homem e pelo topo da cabeça (altura
e base ), e o maior formado pela mesma fonte de luz, pelo pé do edifício e pelo ponto da sombra no edifício (altura e base ). Eles são semelhantes porque têm o mesmo ângulo na fonte de luz e lados verticais paralelos.
Passo 3
Pela semelhança de triângulos, as razões entre altura e base correspondentes são iguais. Escrevemos a igualdade entre razões:
Aqui:
- o numerador
é a altura do homem, - o denominador
é a distância da luz ao homem, - o numerador
é a altura da sombra no edifício, - o denominador
é a distância da luz ao edifício.
Passo 4
Agora resolvemos a equação passo a passo.
Primeiro, simplifico a fração do lado direito:
Logo a equação fica
Multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador à esquerda:
Divido ambos os lados por
para simplificar:
Multiplico ambos os lados por
:
Isolo
:
Passo 5
Fazendo uma checagem rápida para garantir que faz sentido: se o homem está a
do edifício, então ele está a
da luz. A inclinação da reta luz→topo da cabeça é
. Projetando essa mesma razão até
(distância até o edifício) temos altura
, que coincide com a sombra dada. Tudo consistente.