(UNIRIO) Consideremos um ponto de luz no chão a 12 m de um edifício. Numa posição entre a luz e o edifício, encontra-se um homem de 2 m de altura, cuja sombra projetada no edifício, pela mesma luz, mede 8 m . Diante do exposto, calcule a distância entre o homem e o edifício.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Há um ponto de luz no chão a \,12\\ \text{m}\, de um edifício.
  • Um homem de \,2\\ \text{m}\, de altura está entre a luz e o edifício.
  • A sombra projetada do homem sobre o edifício (isto é, a altura do ponto iluminado no edifício correspondente ao topo da cabeça do homem) mede \,8\\ \text{m}\,.
  • Pergunta: qual é a distância entre o homem e o edifício? (ou seja, quantos metros separam o homem da parede do edifício)

Passo 2

Vamos traduzir a situação para uma figura mental e definir uma variável.
  • Seja \,x\\ \text{(m)}\, a distância entre o homem e o edifício. Esse é o que queremos achar.
  • Como a luz está a \,12\\ \text{m}\, do edifício, a distância da luz até o homem é \,12 - x\\ \text{m}\,.
  • Considere a reta que liga a fonte de luz ao topo da cabeça do homem e que é prolongada até cortar o edifício no ponto que determina a sombra de altura \,8\\ \text{m}\,.
  • Isso gera dois triângulos retângulos semelhantes: o menor formado pela fonte de luz, pelo pé do homem e pelo topo da cabeça (altura \,2\\ \text{m}\, e base \,12-x), e o maior formado pela mesma fonte de luz, pelo pé do edifício e pelo ponto da sombra no edifício (altura \,8\\ \text{m}\, e base \,12). Eles são semelhantes porque têm o mesmo ângulo na fonte de luz e lados verticais paralelos.

Passo 3

Pela semelhança de triângulos, as razões entre altura e base correspondentes são iguais. Escrevemos a igualdade entre razões:
\frac{2}{12 - x} = \frac{8}{12}.
Aqui:
  • o numerador \,2 é a altura do homem,
  • o denominador \,12-x é a distância da luz ao homem,
  • o numerador \,8 é a altura da sombra no edifício,
  • o denominador \,12 é a distância da luz ao edifício.

Passo 4

Agora resolvemos a equação passo a passo.
Primeiro, simplifico a fração do lado direito:
\frac{8}{12} = \frac{2}{3}.
Logo a equação fica
\frac{2}{12 - x} = \frac{2}{3}.
Multiplico ambos os lados por (12 - x) para eliminar o denominador à esquerda:
2 = \frac{2}{3}\,(12 - x).
Divido ambos os lados por 2 para simplificar:
1 = \frac{1}{3}\,(12 - x).
Multiplico ambos os lados por 3:
3 = 12 - x.
Isolo x:
x = 12 - 3 = 9.

Passo 5

Fazendo uma checagem rápida para garantir que faz sentido: se o homem está a \,9\\ \text{m}\, do edifício, então ele está a \,12-9=3\\ \text{m}\, da luz. A inclinação da reta luz→topo da cabeça é \,2/3. Projetando essa mesma razão até \,12\\ \text{m} (distância até o edifício) temos altura \,12\cdot(2/3)=8, que coincide com a sombra dada. Tudo consistente.

Resposta

9\\ \text{m}

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