A que distáncia ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado com 0,800 m de raío o módulo do campo elétrico é igual a metade do módulo do campo no centro do disco?

Passo 1

O enunciado pergunta a que distância x ao longo do eixo de um disco de plástico, de raio R=0,800,m e densidade de carga superficial uniforme \sigma, o módulo do campo elétrico E(x) seja igual à metade do módulo do campo no centro do disco E(0). O conteúdo aqui é campo elétrico no eixo de um disco carregado, e vamos usar a fórmula conhecida para esse campo.

Passo 2

Para um disco de raio R e densidade superficial de carga \sigma, o campo elétrico a uma distância x do centro, ao longo do eixo, vale
E(x) \;=\;\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl[1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}\Bigr].
No centro x=0 temos
E(0) \;=\;\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,.

Passo 3

Queremos E(x)=\tfrac12\,E(0). Usando as expressões:
\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl[1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}\Bigr] =\frac12\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Cancelando o fator \sigma/(2\varepsilon_0), sobra
1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}} = \tfrac12.

Passo 4

Rearranjando,
\frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}} = 1 - \tfrac12 = \tfrac12.
Elevando ao quadrado:
\frac{x^2}{x^2 + R^2} = \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad 4x^2 = x^2 + R^2 \quad\Longrightarrow\quad 3x^2 = R^2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{R}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Substituindo R=0,800,m:
x = \frac{0,800}{\sqrt{3}}\approx 0,462\text{ m}.

Resposta

x \approx 0,462,m.

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