A distância para parar um carro é função da velocidade a que ele se desloca.
As medidas abaixo mostram esta relação:
40.225
48.270
64.300
80.450
96.500
distância
10.363
12.192
18.228
27.432
31.090
a) Estime a distância necessária para parar um carro que se desloca a uma velocidade de
usando todos os pontos possíveis de modo que seja possível calcular o erro
b) Faça uma estimativa do erro;
c) Um carro está a uma velocidade de
e existe um buraco a 24 m . O que acontece? Trabalhe com 7 casas decimais.
As medidas abaixo mostram esta relação:
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40.225 | 48.270 | 64.300 | 80.450 | 96.500 |
| distância
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10.363 | 12.192 | 18.228 | 27.432 | 31.090 |
b) Faça uma estimativa do erro;
c) Um carro está a uma velocidade de
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com velocidade e distância de paragem e pede três coisas:
- (a) estimar a distância necessária para parar um carro a
usando todos os pontos (ou seja, um ajuste usando os 5 pares de dados) de modo que seja possível calcular o erro; - (b) fazer uma estimativa do erro;
- (c) considerando um carro a
e um buraco a , dizer o que acontece (usar 7 casas decimais nos cálculos).
Dados fornecidos (retiro-os da tabela do enunciado):
Aqui eu apenas organizei o que foi dado e escrevi claramente as perguntas. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Escolha do modelo e motivação (didática e prática)
- Fisicamente, a distância de frenagem costuma crescer com o quadrado da velocidade (energia cinética
). Por isso é natural modelar a distância como função linear de . - Isso dá um modelo linear em parâmetros, fácil de ajustar por mínimos quadrados: sejam
e . Ajustamos
onde
e
são parâmetros a estimar pelos mínimos quadrados usando todos os 5 pontos (isso permite calcular erro/resíduos).
- Vou explicar passo a passo como calcular
e , depois prever para e e estimar erros.
Passo 3
Transformação dos dados (calcular
) e estatísticas básicas
Calculo para cada velocidade (usei as velocidades dadas e calculei os quadrados):
Calculo
(Usei os valores arredondados exatamente como aparecem nos cálculos; cada número acima está escrito com precisão suficiente para os passos seguintes.)
Agora defino as somas necessárias (com
):
Passo 4
Fórmulas de mínimos quadrados (aula rápida)
Para o modelo o estimador de mínimos quadrados é:
Para o modelo
Explicando:
é a covariância amostral (produto das diferenças em relação às médias) e
é a variância amostral de
. A razão dá a inclinação ótima que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos.]
Passo 5
Calcular numeradores e denominadores (cálculo efetivo)
Calculei soma dos produtos centrados e soma dos quadrados centrados:
Calculei soma dos produtos centrados e soma dos quadrados centrados:
(Usei a técnica de subtrair as médias para evitar enormes cancelamentos numéricos; os valores acima vêm da soma dos produtos das diferenças de cada ponto.)
Agora aplico as fórmulas:
Portanto o modelo ajustado é, com as variáveis originais (lembrando
):
Passo 6
Previsão para
(parte a)
Calculo . Inserindo no modelo:
Calculo
Trabalhando com 7 casas decimais (como pedido), a estimativa é
Eu expliquei como chegar aqui: calculamos
, depois substituímos no modelo linear estimado pelos mínimos quadrados.
Passo 7
Cálculo dos resíduos, soma dos quadrados dos resíduos e erro padrão do ajuste (parte b — ensino)
- Para cada ponto calculamos o resíduo
(diferença entre observado e ajustado) e então a soma dos quadrados dos resíduos:
- O estimador do erro (desvio padrão dos resíduos) é
Explicação: temos
pontos e ajustamos 2 parâmetros (
), por isso dividimos por
— são os graus de liberdade residuais. Esse
é uma medida da dispersão típica de um valor observado em relação ao ajuste (ou seja, descreve o quanto os pontos fogem, em média, do modelo).
Passo 8
Erro necessário para interpretar a previsão em
(erro de predição)
Existem duas coisas que costumamos informar:
Existem duas coisas que costumamos informar:
- erro padrão da estimativa da média predita em
(ou seja, erro para o valor esperado ):
- erro padrão da predição de uma nova observação (inclui variação residual extra):
No caso
(para
) calculei:
Interpretação prática: a incerteza sobre o valor médio é menor (cerca de
), mas se quisermos prever onde um carro individual vai parar (um único carro), devemos usar
(cerca de
), porque inclui a variabilidade residual.
Passo 9
Resumo das respostas de (a) e (b) (concisão, mas já com didática)
- (a) Estimativa pontual para
: - (b) Estimativa do erro (usei duas medidas):
- desvio padrão residual (erro do ajuste):
; - erro padrão da predição individual em
:
- desvio padrão residual (erro do ajuste):
Passo 10
Caso do carro a
e o buraco a
(parte c)
Calculo preditivo para :
Calculo preditivo para
Com 7 casas decimais:
Erro de predição individual em
:
Comparação com o buraco a
:
- O valor pontual previsto é
, que é menor que — portanto, pelo ponto de vista do modelo, o carro deveria parar antes do buraco (ficaria a cerca de antes do buraco). - Porém a incerteza individual é grande:
. Comparando a distância entre o buraco e a previsão com esse erro:
Assumindo (com cautela) erros aproximadamente normais, a probabilidade aproximada de que a distância real de paragem seja menor ou igual a
(ou seja, de parar antes do buraco) é
ou seja cerca de
. Em termos práticos: existe uma boa chance (≈84,25%) de que o carro pare antes do buraco, mas não é garantia — há ainda uma probabilidade não desprezível (≈15,75%) de que não pare a tempo e caia no buraco.
Resposta
(a)
(b) erro (desvio padrão residual) ; erro de predição individual em
(c) . Conclusão: ponto estimado indica que o carro para antes do buraco (ficando
antes), mas com incerteza (erro de predição
); probabilidade aproximada de parar antes do buraco
(≈84,25469%).
(b) erro (desvio padrão residual)
(c)