A distância para parar um carro é função da velocidade a que ele se desloca.
As medidas abaixo mostram esta relação:
\mathrm{Vel}(\mathrm{km} / \mathrm{h}) 40.225 48.270 64.300 80.450 96.500
distância (\mathrm{m}) 10.363 12.192 18.228 27.432 31.090
a) Estime a distância necessária para parar um carro que se desloca a uma velocidade de 63 \mathrm{~km} / \mathrm{h} usando todos os pontos possíveis de modo que seja possível calcular o erro
b) Faça uma estimativa do erro;
c) Um carro está a uma velocidade de 74 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e existe um buraco a 24 m . O que acontece? Trabalhe com 7 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com velocidade e distância de paragem e pede três coisas:
  • (a) estimar a distância necessária para parar um carro a 63\\ \mathrm{km/h} usando todos os pontos (ou seja, um ajuste usando os 5 pares de dados) de modo que seja possível calcular o erro;
  • (b) fazer uma estimativa do erro;
  • (c) considerando um carro a 74\\ \mathrm{km/h} e um buraco a 24\\ \mathrm{m}, dizer o que acontece (usar 7 casas decimais nos cálculos).
Dados fornecidos (retiro-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} \text{Vel (km/h)} & 40{,}225 & 48{,}270 & 64{,}300 & 80{,}450 & 96{,}500\\hline \text{dist (m)} & 10{,}363 & 12{,}192 & 18{,}228 & 27{,}432 & 31{,}090 \end{array}
Aqui eu apenas organizei o que foi dado e escrevi claramente as perguntas. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Escolha do modelo e motivação (didática e prática)
  • Fisicamente, a distância de frenagem costuma crescer com o quadrado da velocidade (energia cinética \propto v^2). Por isso é natural modelar a distância d como função linear de v^2.
  • Isso dá um modelo linear em parâmetros, fácil de ajustar por mínimos quadrados: sejam x=v^2 e y=d. Ajustamos
y = a x + b,
onde a e b são parâmetros a estimar pelos mínimos quadrados usando todos os 5 pontos (isso permite calcular erro/resíduos).
  • Vou explicar passo a passo como calcular a e b, depois prever para v=63 e v=74 e estimar erros.

Passo 3

Transformação dos dados (calcular x=v^2) e estatísticas básicas
Calculo x_i=v_i^2 para cada velocidade (usei as velocidades dadas e calculei os quadrados):
\begin{aligned} x_1 &= 40{,}225^2 = 1618{,}050625,\\\ x_2 &= 48{,}270^2 = 2329{,}992900,\\\ x_3 &= 64{,}300^2 = 4134{,}490000,\\\ x_4 &= 80{,}450^2 = 6472{,}202500,\\\ x_5 &= 96{,}500^2 = 9312{,}250000. \end{aligned}
(Usei os valores arredondados exatamente como aparecem nos cálculos; cada número acima está escrito com precisão suficiente para os passos seguintes.)
Agora defino as somas necessárias (com n=5):
\begin{aligned} S_x &= \sum_{i=1}^5 x_i = 23866{,}986025,\\\ S_y &= \sum_{i=1}^5 y_i = 99{,}305000,\\\ S_{xy} &= \sum_{i=1}^5 x_i y_i = 587502{,}927263675,\\\ \bar{x} &= \frac{S_x}{n} = 4773{,}397205,\\\ \bar{y} &= \frac{S_y}{n} = 19{,}861000. \end{aligned}

Passo 4

Fórmulas de mínimos quadrados (aula rápida)
Para o modelo y = a x + b o estimador de mínimos quadrados é:
\begin{aligned} a &= \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2},\\[4pt] b &= \bar{y} - a\,\bar{x}. \end{aligned}
Explicando: \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) é a covariância amostral (produto das diferenças em relação às médias) e \sum (x_i-\bar{x})^2 é a variância amostral de x. A razão dá a inclinação ótima que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos.]

Passo 5

Calcular numeradores e denominadores (cálculo efetivo)
Calculei soma dos produtos centrados e soma dos quadrados centrados:
\sum_{i=1}^5 (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 113579{,}716885385,
\sum_{i=1}^5 (x_i-\bar{x})^2 = 39823763{,}184997.
(Usei a técnica de subtrair as médias para evitar enormes cancelamentos numéricos; os valores acima vêm da soma dos produtos das diferenças de cada ponto.)
Agora aplico as fórmulas:
a = \frac{113579{,}716885385}{39823763{,}184997} \approx 0{,}0028520548,
b = \bar{y} - a\bar{x} \approx 19{,}861000 - 0{,}0028520548\cdot 4773{,}397205 \approx 6{,}247009589173166.
Portanto o modelo ajustado é, com as variáveis originais (lembrando x=v^2):
\boxed{ \; \hat d(v)=a\,v^2 + b = 0{,}0028520548\; v^2 + 6{,}247009589173166 \; }.

Passo 6

Previsão para v=63\\ \mathrm{km/h} (parte a)
Calculo x_0 = 63^2 = 3969. Inserindo no modelo:
\hat d(63) = a\cdot 3969 + b \approx 0{,}0028520548\cdot 3969 + 6{,}247009589173166 \approx 17{,}566815090373166\\ \mathrm{m}.
Trabalhando com 7 casas decimais (como pedido), a estimativa é \;17{,}5668151\\ \mathrm{m}.
Eu expliquei como chegar aqui: calculamos x=v^2, depois substituímos no modelo linear estimado pelos mínimos quadrados.

Passo 7

Cálculo dos resíduos, soma dos quadrados dos resíduos e erro padrão do ajuste (parte b — ensino)
  • Para cada ponto calculamos o resíduo r_i = y_i - \hat y_i (diferença entre observado e ajustado) e então a soma dos quadrados dos resíduos:
\mathrm{SSR} = \sum_{i=1}^5 r_i^2 \approx 11{,}150341038338.
  • O estimador do erro (desvio padrão dos resíduos) é
s = \sqrt{\frac{\mathrm{SSR}}{n-2}} = \sqrt{\frac{11{,}150341038338}{3}} \approx 1{,}9278952\\ \mathrm{m}.
Explicação: temos n=5 pontos e ajustamos 2 parâmetros ( a,b), por isso dividimos por n-2 — são os graus de liberdade residuais. Esse s é uma medida da dispersão típica de um valor observado em relação ao ajuste (ou seja, descreve o quanto os pontos fogem, em média, do modelo).

Passo 8

Erro necessário para interpretar a previsão em v=63 (erro de predição)
Existem duas coisas que costumamos informar:
  • erro padrão da estimativa da média predita em x_0 (ou seja, erro para o valor esperado \mathbb{E}[y|x_0]):
\mathrm{SE}_{\text{mean}}(x_0) = s\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_0-\bar{x})^2}{\sum (x_i-\bar{x})^2}}.
  • erro padrão da predição de uma nova observação (inclui variação residual extra):
\mathrm{SE}_{\text{pred}}(x_0) = s\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0-\bar{x})^2}{\sum (x_i-\bar{x})^2}}.
No caso x_0=3969 (para 63\\ \mathrm{km/h}) calculei:
\mathrm{SE}_{\text{mean}}(3969) \approx 0{,}8965189\\ \mathrm{m},
\mathrm{SE}_{\text{pred}}(3969) \approx 2{,}1261554\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: a incerteza sobre o valor médio é menor (cerca de 0{,}8965\\ \mathrm{m}), mas se quisermos prever onde um carro individual vai parar (um único carro), devemos usar \mathrm{SE}_{\text{pred}} (cerca de 2{,}1262\\ \mathrm{m}), porque inclui a variabilidade residual.

Passo 9

Resumo das respostas de (a) e (b) (concisão, mas já com didática)
  • (a) Estimativa pontual para v=63\\ \mathrm{km/h}: \hat d(63)=17{,}5668151\\ \mathrm{m}.
  • (b) Estimativa do erro (usei duas medidas):
    • desvio padrão residual (erro do ajuste): s\approx 1{,}9278952\\ \mathrm{m};
    • erro padrão da predição individual em 63\\ \mathrm{km/h}: \mathrm{SE}_{\text{pred}}(63)\approx 2{,}1261554\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Caso do carro a 74\\ \mathrm{km/h} e o buraco a 24\\ \mathrm{m} (parte c)
Calculo preditivo para v=74:
x_0 = 74^2 = 5476,
\hat d(74) = a\cdot 5476 + b \approx 21{,}864861673973166\\ \mathrm{m}.
Com 7 casas decimais: \hat d(74)=21{,}8648617\\ \mathrm{m}.
Erro de predição individual em 74\\ \mathrm{km/h}:
\mathrm{SE}_{\text{pred}}(5476) \approx 2{,}1245347\\ \mathrm{m}.
Comparação com o buraco a 24\\ \mathrm{m}:
  • O valor pontual previsto é 21{,}8648617\\ \mathrm{m}, que é menor que 24\\ \mathrm{m} — portanto, pelo ponto de vista do modelo, o carro deveria parar antes do buraco (ficaria a cerca de 2{,}1351383\\ \mathrm{m} antes do buraco).
  • Porém a incerteza individual é grande: \mathrm{SE}_{\text{pred}}\approx 2{,}1245347\\ \mathrm{m}. Comparando a distância entre o buraco e a previsão com esse erro:
z = \frac{24 - \hat d(74)}{\mathrm{SE}_{\text{pred}}} \approx \frac{2{,}135138326026834}{2{,}1245347267144} \approx 1{,}00497.
Assumindo (com cautela) erros aproximadamente normais, a probabilidade aproximada de que a distância real de paragem seja menor ou igual a 24\\ \mathrm{m} (ou seja, de parar antes do buraco) é
\Phi(1{,}00497)\approx 0{,}8425469,
ou seja cerca de 84{,}25469\%. Em termos práticos: existe uma boa chance (≈84,25%) de que o carro pare antes do buraco, mas não é garantia — há ainda uma probabilidade não desprezível (≈15,75%) de que não pare a tempo e caia no buraco.

Resposta

(a) 17{,}5668151\\ \mathrm{m}
(b) erro (desvio padrão residual) s=1{,}9278952\\ \mathrm{m}; erro de predição individual em 63\\ \mathrm{km/h}=\;2{,}1261554\\ \mathrm{m}
(c) \hat d(74)=21{,}8648617\\ \mathrm{m}. Conclusão: ponto estimado indica que o carro para antes do buraco (ficando 2{,}1351383\\ \mathrm{m} antes), mas com incerteza (erro de predição 2{,}1245347\\ \mathrm{m}); probabilidade aproximada de parar antes do buraco \approx 0{,}8425469 (≈84,25469%).

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